Вариант 4 1. Найдите производную функции: 1) f(x) = 4x8 + x⁵/5 + 2x² - 3; 2) f(x) = (5-3x)√x; 3) f(x) = x²-7/x; 4) f(x) = ctg⁵ 7x. 2. Составьте уравнение касательной к графику функции f(x) = x² + 2x в точке с абсциссой хо = 1. 3. Материальная точка движется по координатной прямой по закону s(t) = 4t² - 2t + 1 (перемещение в измеряется в метрах, время t в секундах). Найдите скорость её движения в момент времени to = 4 c. 4. Найдите производную данной функции у = (х+4)∣x - 5∣ в точках x = -1 и х = 6. 5. Найдите абсциссу точки графика функции f(x) = 5x2 – 5x, в которой проведённая к нему касательная образует с положительным направ- лением оси абсцисс угол 135°. 6. Найдите уравнение касательной к графику функции f(x) = x² - 5x + 3, если эта касательная параллельна прямой у = 3х – 1. 7. В какой точке графика функции у = х² + 4x + 14 надо провести каса- тельную, чтобы она проходила через точку с координатами (-1/2; 0)?

1. Найдите производную функции:

1) f(x) = 4x⁸ + x⁵/5 + 2x² - 3

f'(x) = 4 * 8x⁷ + (1/5) * 5x⁴ + 2 * 2x - 0 = 32x⁷ + x⁴ + 4x

Ответ: f'(x) = 32x⁷ + x⁴ + 4x

2) f(x) = (5 - 3x)√x

f(x) = 5√x - 3x√x = 5x^(1/2) - 3x^(3/2)

f'(x) = 5 * (1/2)x^(-1/2) - 3 * (3/2)x^(1/2) = (5/2) * (1/√x) - (9/2)√x = (5 - 9x) / (2√x)

Ответ: f'(x) = (5 - 9x) / (2√x)

3) f(x) = (x² - 7) / x

f(x) = x²/x - 7/x = x - 7x⁻¹

f'(x) = 1 - 7 * (-1)x⁻² = 1 + 7/x²

Ответ: f'(x) = 1 + 7/x²

4) f(x) = ctg⁵(7x)

f'(x) = 5 * ctg⁴(7x) * (ctg(7x))' = 5ctg⁴(7x) * (-1 / sin²(7x)) * 7 = -35ctg⁴(7x) / sin²(7x)

Ответ: f'(x) = -35ctg⁴(7x) / sin²(7x)

2. Составьте уравнение касательной к графику функции f(x) = x² + 2x в точке с абсциссой x₀ = 1.

f(x) = x² + 2x

f'(x) = 2x + 2

f(1) = 1² + 2 * 1 = 3

f'(1) = 2 * 1 + 2 = 4

Уравнение касательной: y = f'(x₀)(x - x₀) + f(x₀)

y = 4(x - 1) + 3 = 4x - 4 + 3 = 4x - 1

Ответ: y = 4x - 1

3. Материальная точка движется по координатной прямой по закону s(t) = 4t² - 2t + 1. Найдите скорость её движения в момент времени t₀ = 4 c.

s(t) = 4t² - 2t + 1

v(t) = s'(t) = 8t - 2

v(4) = 8 * 4 - 2 = 32 - 2 = 30

Ответ: v(4) = 30 м/с

4. Найдите производную данной функции y = (x + 4)∣x - 5∣ в точках x = -1 и x = 6.

y = (x + 4)∣x - 5∣

При x < 5: ∣x - 5∣ = -(x - 5) = 5 - x

y = (x + 4)(5 - x) = 5x - x² + 20 - 4x = -x² + x + 20

y' = -2x + 1

При x > 5: ∣x - 5∣ = x - 5

y = (x + 4)(x - 5) = x² - 5x + 4x - 20 = x² - x - 20

y' = 2x - 1

При x = -1 (x < 5): y'(-1) = -2 * (-1) + 1 = 2 + 1 = 3

При x = 6 (x > 5): y'(6) = 2 * 6 - 1 = 12 - 1 = 11

Ответ: y'(-1) = 3, y'(6) = 11

5. Найдите абсциссу точки графика функции f(x) = 5x² – 5x, в которой проведённая к нему касательная образует с положительным направлением оси абсцисс угол 135°.

f(x) = 5x² - 5x

f'(x) = 10x - 5

Угол 135° => tg(135°) = -1

f'(x) = tg(135°)

10x - 5 = -1

10x = 4

x = 0.4

Ответ: x = 0.4

6. Найдите уравнение касательной к графику функции f(x) = x² - 5x + 3, если эта касательная параллельна прямой y = 3x – 1.

f(x) = x² - 5x + 3

f'(x) = 2x - 5

Параллельна прямой y = 3x - 1 => f'(x) = 3

2x - 5 = 3

2x = 8

x = 4

f(4) = 4² - 5 * 4 + 3 = 16 - 20 + 3 = -1

Уравнение касательной: y = f'(x₀)(x - x₀) + f(x₀)

y = 3(x - 4) - 1 = 3x - 12 - 1 = 3x - 13

Ответ: y = 3x - 13

7. В какой точке графика функции у = x² + 4x + 14 надо провести касательную, чтобы она проходила через точку с координатами (-1/2; 0)?

y = x² + 4x + 14

y' = 2x + 4

Уравнение касательной: y = y'(x₀)(x - x₀) + y(x₀)

y = (2x₀ + 4)(x - x₀) + x₀² + 4x₀ + 14

Касательная проходит через точку (-1/2; 0):

0 = (2x₀ + 4)(-1/2 - x₀) + x₀² + 4x₀ + 14

0 = -x₀ - 2 - 2x₀² - 4x₀ + x₀² + 4x₀ + 14

0 = -x₀² - x₀ + 12

x₀² + x₀ - 12 = 0

D = 1² - 4 * 1 * (-12) = 1 + 48 = 49

x₀₁ = (-1 + √49) / 2 = (-1 + 7) / 2 = 6 / 2 = 3

x₀₂ = (-1 - √49) / 2 = (-1 - 7) / 2 = -8 / 2 = -4

y(3) = 3² + 4 * 3 + 14 = 9 + 12 + 14 = 35

y(-4) = (-4)² + 4 * (-4) + 14 = 16 - 16 + 14 = 14

Ответ: (3; 35) и (-4; 14)