Вариант 2 1. Найдите разность и десятый член арифметической про- грессии: 3; 6; 9; 12; ... . 2. Найдите знаменатель геометрической прогрессии: 1 1 7; -; -; ... . √7 49 3. Составьте одну из возможных формул n-го члена последо- вательности по ее первым четырем членам: 0; √2-1, √3-1, 1 4' 6 ' 8 4. Найдите сумму и первых членов геометрической прогрес- сии, если в₃ = 4, q = 2, n=7. 5. Дана арифметическая прогрессия (ад). Найдите д, если S₃ = 270, a₁ = -5.

Ответ 1

Для арифметической прогрессии 3; 6; 9; 12; ... найдем разность и десятый член.

1. Разность арифметической прогрессии (d) находится как разница между последующим и предыдущим членами:

\[ d = a_2 - a_1 = 6 - 3 = 3 \]

2. Десятый член арифметической прогрессии (a₁₀) находится по формуле:

\[ a_n = a_1 + (n - 1)d \]

Подставляем значения a₁ = 3, n = 10, d = 3:

\[ a_{10} = 3 + (10 - 1) \cdot 3 = 3 + 9 \cdot 3 = 3 + 27 = 30 \]

Ответ: Разность d = 3, десятый член a₁₀ = 30

Ответ 2

Для геометрической прогрессии 7; \[ \frac{1}{\sqrt{7}} \]; \[ \frac{1}{49} \]; ... найдем знаменатель.

Знаменатель геометрической прогрессии (q) находится как отношение последующего члена к предыдущему:

\[ q = \frac{a_2}{a_1} = \frac{\frac{1}{\sqrt{7}}}{7} = \frac{1}{\sqrt{7}} \cdot \frac{1}{7} = \frac{1}{7\sqrt{7}} \]

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на \[ \sqrt{7} \]:

\[ q = \frac{1}{7\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{7}}{7 \cdot 7} = \frac{\sqrt{7}}{49} \]

Ответ: Знаменатель q = \[ \frac{\sqrt{7}}{49} \]

Ответ 3

Составим одну из возможных формул n-го члена последовательности 0; \[ \frac{\sqrt{2}-1}{4} \]; \[ \frac{\sqrt{3}-1}{6} \]; \[ \frac{1}{8} \]; ...

Заметим, что общий вид члена последовательности можно представить как:

\[ a_n = \frac{\sqrt{n+1} - 1}{2(n+1)} \]

Проверим для первых членов:

• n = 1: \[ a_1 = \frac{\sqrt{1+1} - 1}{2(1+1)} = \frac{\sqrt{2} - 1}{4} \]
• n = 2: \[ a_2 = \frac{\sqrt{2+1} - 1}{2(2+1)} = \frac{\sqrt{3} - 1}{6} \]
• n = 3: \[ a_3 = \frac{\sqrt{3+1} - 1}{2(3+1)} = \frac{\sqrt{4} - 1}{8} = \frac{2 - 1}{8} = \frac{1}{8} \]
• n = 0: \[ a_0 = \frac{\sqrt{0+1} - 1}{2(0+1)} = \frac{\sqrt{1} - 1}{2(1)} = \frac{1 - 1}{2} = 0 \]

Ответ: \[ a_n = \frac{\sqrt{n+1} - 1}{2(n+1)} \]

Ответ 4

Найдем сумму первых n членов геометрической прогрессии, если b₃ = 4, q = 2, n = 7.

1. Найдем b₁:

\[ b_3 = b_1 \cdot q^2 \]

\[ 4 = b_1 \cdot 2^2 \]

\[ 4 = b_1 \cdot 4 \]

\[ b_1 = 1 \]

2. Сумма n первых членов геометрической прогрессии:

\[ S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1} \]

Подставляем значения b₁ = 1, q = 2, n = 7:

\[ S_7 = \frac{1(2^7 - 1)}{2 - 1} = \frac{1(128 - 1)}{1} = 127 \]

Ответ: S₇ = 127

Ответ 5

Дана арифметическая прогрессия (aₙ). Найдите d, если S₃ = 270, a₁ = -5.

1. Сумма n первых членов арифметической прогрессии:

\[ S_n = \frac{2a_1 + (n - 1)d}{2} \cdot n \]

Подставляем значения S₃ = 270, a₁ = -5, n = 3:

\[ 270 = \frac{2(-5) + (3 - 1)d}{2} \cdot 3 \]

\[ 270 = \frac{-10 + 2d}{2} \cdot 3 \]

\[ 270 = (-5 + d) \cdot 3 \]

\[ 90 = -5 + d \]

\[ d = 95 \]

Ответ: d = 95

Проверка за 10 секунд: Пересмотри каждый шаг, убедись, что формулы применены верно и арифметические операции выполнены без ошибок.

Доп. профит: База: Всегда проверяй свои ответы, подставляя полученные значения обратно в исходные уравнения. Это поможет убедиться в правильности решения.