Вариант 2. 1. Найдите синус, косинус и тангенс большего острого угла прямоугольного треугольника с катетом 40см и гипотенузой 41 см. 2. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 20 см, а синус одного из острых углов равен 0,8. Найдите катеты этого треугольника. 3. В треугольнике АВС с прямым углом С и высотой СН катет ВС равен 6V3 см, а отрезок ВН равен 9 см. Найдите острые углы прямоугольного треугольника.

Решим задачи по геометрии.

1. Пусть дан прямоугольный треугольник с катетом (a = 40) см и гипотенузой (c = 41) см. Найдем второй катет (b) по теореме Пифагора:

   $$a^2 + b^2 = c^2$$ $$40^2 + b^2 = 41^2$$ $$1600 + b^2 = 1681$$ $$b^2 = 81$$ $$b = 9 ext{ см}$$

   Больший острый угол лежит против большего катета, то есть против катета (a = 40) см.

   Тогда:

   Синус большего угла:

   $$\sin{\alpha} = \frac{a}{c} = \frac{40}{41}$$

   Косинус большего угла:

   $$\cos{\alpha} = \frac{b}{c} = \frac{9}{41}$$

   Тангенс большего угла:

   $$\tan{\alpha} = \frac{a}{b} = \frac{40}{9}$$

2. Гипотенуза (c = 20) см, синус одного из острых углов (\sin{\alpha} = 0,8).

   Найдем катет (a), противолежащий углу (\alpha):

   $$\sin{\alpha} = \frac{a}{c}$$ $$a = c \cdot \sin{\alpha} = 20 \cdot 0,8 = 16 ext{ см}$$

   Найдем второй катет (b) по теореме Пифагора:

   $$a^2 + b^2 = c^2$$ $$16^2 + b^2 = 20^2$$ $$256 + b^2 = 400$$ $$b^2 = 144$$ $$b = 12 ext{ см}$$

3. В треугольнике ABC с прямым углом C и высотой CH, катет BC равен (6\sqrt{3}) см, отрезок BH равен 9 см. Нужно найти острые углы прямоугольного треугольника.

   Рассмотрим треугольник BHC: он прямоугольный, так как CH — высота. Найдем cos угла B:

   $$\cos{B} = \frac{BH}{BC} = \frac{9}{6\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

   Значит, угол B равен 30°.

   Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°, то угол A равен:

   $$A = 90° - B = 90° - 30° = 60°$$

Ответ: 1. \(\sin{\alpha} = \frac{40}{41}\), \(\cos{\alpha} = \frac{9}{41}\), \(\tan{\alpha} = \frac{40}{9}\). 2. 16 см, 12 см. 3. 30°, 60°.