Вариант 2 1) Найдите сумму шести первых членов геометрической прогрессии (в), в которой в₁ = 3√2, 9 = √2. 2) Найдите сумму пяти первых членов геометрической прогрессии 1,5; -3; .... 1 3) (аₙ) – геометрическая прогрессия. Найдите S₅, если а₁ = 18, q=-2. 4) Найдите первый член геометрической прогрессии, в которой q = 2, S₈ = 765.

1)

Дано: геометрическая прогрессия (bₙ), b₁ = 3√2, q = √2, n = 6.

Найти: S₆

Решение:

Сумма n первых членов геометрической прогрессии находится по формуле:

$$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$$

Подставим значения:

$$S_6 = \frac{3\sqrt{2}((\sqrt{2})^6 - 1)}{\sqrt{2} - 1} = \frac{3\sqrt{2}(8 - 1)}{\sqrt{2} - 1} = \frac{21\sqrt{2}}{\sqrt{2} - 1}$$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, домножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение ($$\sqrt{2} + 1$$):

$$S_6 = \frac{21\sqrt{2}(\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)} = \frac{21(2 + \sqrt{2})}{2 - 1} = 21(2 + \sqrt{2}) = 42 + 21\sqrt{2}$$

Ответ: $$42 + 21\sqrt{2}$$

2)

Дано: геометрическая прогрессия (bₙ): 1.5; -3; ..., n = 5.

Найти: S₅

Решение:

Найдем знаменатель геометрической прогрессии:

$$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-3}{1.5} = -2$$

Сумма n первых членов геометрической прогрессии находится по формуле:

$$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$$

Подставим значения:

$$S_5 = \frac{1.5((-2)^5 - 1)}{-2 - 1} = \frac{1.5(-32 - 1)}{-3} = \frac{1.5(-33)}{-3} = \frac{-49.5}{-3} = 16.5$$

Ответ: 16,5

3)

Дано: геометрическая прогрессия (aₙ), a₁ = 18, q = -2, n = 5.

Найти: S₅

Решение:

Сумма n первых членов геометрической прогрессии находится по формуле:

$$S_n = \frac{a_1(q^n - 1)}{q - 1}$$

Подставим значения:

$$S_5 = \frac{18((-2)^5 - 1)}{-2 - 1} = \frac{18(-32 - 1)}{-3} = \frac{18(-33)}{-3} = \frac{-594}{-3} = 198$$

Ответ: 198

4)

Дано: геометрическая прогрессия (aₙ), q = 2, S₈ = 765.

Найти: a₁

Решение:

Сумма n первых членов геометрической прогрессии находится по формуле:

$$S_n = \frac{a_1(q^n - 1)}{q - 1}$$

Подставим значения:

$$765 = \frac{a_1(2^8 - 1)}{2 - 1} = \frac{a_1(256 - 1)}{1} = 255a_1$$

Выразим a₁:

$$a_1 = \frac{765}{255} = 3$$

Ответ: 3