Вариант 6. 1. Найдите tg α, если cos α = -10/√101 и α ∈ (0,5π;π). 2. Найдите значение выражения 2sin(α - 2π) + 5cos(-π/2 + α), если sin α = -0,1. *3. Вычислите: tg(arctg √3). 4. Решите уравнение sin(π(x + 7) / 6) = -0.5. 5. Решить уравнение 5tg²x - 13tgx - 6 = 0 6. Решить уравнение sin²x + 1,5 cos²x = 2,5 sin x cos x 7. Решить неравенство sin x ≤ 1/2

Математика. Алгебра. 10 класс

1. Найдите tg α, если cos α = -10/√101 и α ∈ (0,5π;π)

Давай вспомним основное тригонометрическое тождество: sin²α + cos²α = 1. Отсюда можно выразить sin α: sin²α = 1 - cos²α sin α = ±√(1 - cos²α) По условию α ∈ (0,5π; π), то есть α находится во второй четверти, где синус положительный. Поэтому выбираем положительное значение синуса. sin α = √(1 - cos²α) sin α = √(1 - (-10/√101)²) sin α = √(1 - 100/101) sin α = √(1/101) sin α = 1/√101 Теперь найдем тангенс, используя формулу tg α = sin α / cos α: tg α = (1/√101) / (-10/√101) tg α = -1/10

Ответ: tg α = -0.1

Отлично, ты справился с первым заданием! У тебя все получается!

---

2. Найдите значение выражения 2sin(α - 2π) + 5cos(-π/2 + α), если sin α = -0,1

Сначала упростим выражение, используя свойства тригонометрических функций: sin(α - 2π) = sin α, так как период синуса равен 2π. cos(-π/2 + α) = cos(α - π/2) = sin α, так как cos(-x) = cos(x) и cos(α - π/2) = sin α. Теперь подставим значения: 2sin(α - 2π) + 5cos(-π/2 + α) = 2sin α + 5sin α = 7sin α Подставим sin α = -0,1: 7sin α = 7 * (-0,1) = -0,7

Ответ: -0.7

Продолжай в том же духе, у тебя отличные результаты!

---

3. Вычислите: tg(arctg √3)

Тангенс и арктангенс - это взаимно обратные функции. Это значит, что tg(arctg x) = x для любого x. В нашем случае x = √3. tg(arctg √3) = √3

Ответ: √3

Это было просто! Двигаемся дальше, все идет по плану!

---

4. Решите уравнение sin(π(x + 7) / 6) = -0.5

Для начала, давай решим уравнение относительно аргумента синуса: π(x + 7) / 6 = arcsin(-0.5) Мы знаем, что sin(-π/6) = -0.5. Но у синуса есть период 2π, поэтому общее решение: π(x + 7) / 6 = -π/6 + 2πk или π(x + 7) / 6 = π - (-π/6) + 2πk, где k - целое число. Теперь решим каждое уравнение отдельно: 1) π(x + 7) / 6 = -π/6 + 2πk (x + 7) / 6 = -1/6 + 2k x + 7 = -1 + 12k x = -8 + 12k 2) π(x + 7) / 6 = π - (-π/6) + 2πk π(x + 7) / 6 = 7π/6 + 2πk (x + 7) / 6 = 7/6 + 2k x + 7 = 7 + 12k x = 12k

Ответ: x = -8 + 12k, x = 12k, где k ∈ Z

Замечательно, ты почти у цели! Не останавливайся!

---

5. Решить уравнение 5tg²x - 13tgx - 6 = 0

Введем замену: y = tg x. Тогда уравнение примет вид: 5y² - 13y - 6 = 0 Решим это квадратное уравнение. Дискриминант: D = (-13)² - 4 * 5 * (-6) = 169 + 120 = 289 √D = 17 Корни: y₁ = (13 + 17) / (2 * 5) = 30 / 10 = 3 y₂ = (13 - 17) / (2 * 5) = -4 / 10 = -0.4 Теперь вернемся к замене: 1) tg x = 3 x = arctg(3) + πk, где k - целое число. 2) tg x = -0.4 x = arctg(-0.4) + πk, где k - целое число.

Ответ: x = arctg(3) + πk, x = arctg(-0.4) + πk, где k ∈ Z

Потрясающе, ты близок к завершению! Еще немного!

---

6. Решить уравнение sin²x + 1,5 cos²x = 2,5 sin x cos x

Преобразуем уравнение: sin²x + 1.5cos²x - 2.5sinxcosx = 0 Разделим обе части уравнения на cos²x (если cos x ≠ 0): tg²x + 1.5 - 2.5tgx = 0 tg²x - 2.5tgx + 1.5 = 0 Введем замену: y = tg x: y² - 2.5y + 1.5 = 0 Умножим на 2 для удобства: 2y² - 5y + 3 = 0 Решим квадратное уравнение: D = (-5)² - 4 * 2 * 3 = 25 - 24 = 1 √D = 1 y₁ = (5 + 1) / (2 * 2) = 6 / 4 = 1.5 y₂ = (5 - 1) / (2 * 2) = 4 / 4 = 1 Вернемся к замене: 1) tg x = 1.5 x = arctg(1.5) + πk, где k - целое число. 2) tg x = 1 x = π/4 + πk, где k - целое число. Теперь нужно проверить случай, когда cos x = 0. Если cos x = 0, то sin x = ±1. Подставим в исходное уравнение: (±1)² + 1.5 * 0² = 2.5 * (±1) * 0 1 = 0 (неверно) Следовательно, cos x ≠ 0.

Ответ: x = arctg(1.5) + πk, x = π/4 + πk, где k ∈ Z

Ты просто супер! Остался последний шаг!

---

7. Решить неравенство sin x ≤ 1/2

Решим это неравенство на единичной окружности. Синус - это y-координата точки на окружности. Нам нужно найти все углы x, для которых sin x ≤ 1/2. sin x = 1/2 при x = π/6 и x = 5π/6. Значит, нам подходят все углы от -∞ до π/6 и от 5π/6 до +∞ с учетом периодичности синуса 2π. x ∈ (-∞; π/6] ∪ [5π/6; +∞) Учитывая период 2π, решение будет: x ∈ [-∞ + 2πk; π/6 + 2πk] ∪ [5π/6 + 2πk; +∞ + 2πk], где k - целое число. Или проще: x ∈ (-∞; π/6 + 2πk] ∪ [5π/6 + 2πk; +∞), где k ∈ Z. Другая запись: x ∈ (-∞; π/6 + 2πk] ∪ [5π/6 + 2πk; ∞), где k ∈ Z.

Ответ: x ∈ (-∞; π/6 + 2πk] ∪ [5π/6 + 2πk; +∞), где k ∈ Z

Ура! Ты решил все задания! Ты молодец, так держать! Продолжай учиться и развиваться, и у тебя все получится!