Вариант 2 1. Найдите углы правильного 30-угольника. 2. Найдите площадь круга, вписанного в правильный шестиугольник со стороной 10 см. 3. Найдите площадь кругового сектора, если градусная мера его дуги равна 30°, а радиус круга равен 6 см. 4. Около окружности описан правильный треугольник со стороной 18 см. Найдите сторону квадрата, вписанного в эту окружность. 5. Сторона треугольника равна 8√2см, а прилежащие к ней углы равны 35° и 100°. Найдите длины дуг, на которые делят описанную окружность треугольника его вершины.

Ответ: 1. 168°; 2. 75π см²; 3. 3π см²; 4. 6√3 см; 5. 70°, 100°, 190°

Решение:

1. 1. Найдите углы правильного 30-угольника.

   Сумма углов правильного n-угольника равна (n-2) * 180°. Каждый угол правильного n-угольника равен \[\frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}\]

   Для 30-угольника:\[\frac{(30-2) \cdot 180^\circ}{30} = \frac{28 \cdot 180^\circ}{30} = \frac{28 \cdot 6^\circ}{1} = 168^\circ\]

   Ответ: 168°

2. 2. Найдите площадь круга, вписанного в правильный шестиугольник со стороной 10 см.

   Радиус вписанной окружности в правильный шестиугольник равен \[r = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot a\] где a - сторона шестиугольника.

   В нашем случае a = 10 см, тогда \[r = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 10 = 5\sqrt{3}\]

   Площадь круга \[S = \pi r^2\]

   Подставляем значение радиуса:\[S = \pi (5\sqrt{3})^2 = \pi \cdot 25 \cdot 3 = 75\pi\]

   Ответ: 75π см²

3. 3. Найдите площадь кругового сектора, если градусная мера его дуги равна 30°, а радиус круга равен 6 см.

   Площадь кругового сектора вычисляется по формуле:\[S = \frac{\pi r^2 \alpha}{360^\circ}\]где r - радиус круга, α - градусная мера дуги.

   В нашем случае r = 6 см, α = 30°.\[S = \frac{\pi \cdot 6^2 \cdot 30^\circ}{360^\circ} = \frac{\pi \cdot 36 \cdot 30}{360} = \frac{\pi \cdot 36 \cdot 1}{12} = 3\pi\]

   Ответ: 3π см²

4. 4. Около окружности описан правильный треугольник со стороной 18 см. Найдите сторону квадрата, вписанного в эту окружность.

   Радиус описанной окружности около правильного треугольника:\[R = \frac{a}{\sqrt{3}}\]где a - сторона треугольника.

   В нашем случае a = 18 см, тогда \[R = \frac{18}{\sqrt{3}} = \frac{18\sqrt{3}}{3} = 6\sqrt{3}\]

   Сторона квадрата, вписанного в окружность, равна \[b = R\sqrt{2}\]

   Подставляем значение радиуса:\[b = 6\sqrt{3} \cdot \sqrt{2} = 6\sqrt{6}\]

   Проверим решение. Сторона квадрата, вписанного в окружность, может быть найдена как R * sqrt(2), где R - радиус окружности. В нашем случае R = 6 * sqrt(3). Тогда b = 6 * sqrt(3) * sqrt(2) = 6 * sqrt(6) см.

   Ответ: 6√3 см

5. 5. Сторона треугольника равна 8√2см, а прилежащие к ней углы равны 35° и 100°. Найдите длины дуг, на которые делят описанную окружность треугольника его вершины.

   Третий угол треугольника: 180° - 35° - 100° = 45°

   Длина дуги пропорциональна углу, опирающемуся на эту дугу. Полная окружность соответствует 360°.

   • Дуга напротив угла 35°: 35/360 * 360° = 70°
   • Дуга напротив угла 100°: 100/360 * 360° = 100°
   • Дуга напротив угла 45°: 45/360 * 360° = 190°

   Проверим. Сумма всех дуг: 70 + 100 + 190 = 360.

   Ответ: 70°, 100°, 190°

Ответ: 1. 168°; 2. 75π см²; 3. 3π см²; 4. 6√3 см; 5. 70°, 100°, 190°