Вариант 2 *1. Найдите восьмой член геометрической прогрессии (8), если д₁ = 0,0027 и д= -10. •2. Последовательность (б) — геометрическая прогрес- сия, в которой в = 40 и q= √2. Найдите в •3. Найдите сумму первых шести членов геометриче- ской прогрессии (6), в которой в₁ = 81 и д = 3. 4. Известны два члена геометрической прогрессии: 6. = 0,5 и 6, = 0,005. Найдите ее первый член. 5. Сумма первых трех членов геометрической прогрес- сии равна 26, знаменатель прогрессии равен 3. Найдите сумму первых шести членов этой прогрессии. Вариант 1 •1. Найдите седьмой член геометрической прогрессии (8), если в₁ = 1500 и q= -0,1. •2. Последовательность (b) — геометрическая прогрес- сия, в которой в₁ = 18 и q= √3. Найдите в₁. 1 •3. Найдите сумму первых шести членов геометриче- ской прогрессии (b), в которой 6₁ = 8 и q=. 2 4. Известны два члена геометрической прогрессии: b = 2 и 6 = 200. Найдите ее первый член. 5. Сумма первых четырех членов геометрической про- грессии равна 45, знаменатель прогрессии равен 2. Найди- те сумму первых восьми членов этой прогрессии.

Решение заданий варианта 2:

1. Найдем восьмой член геометрической прогрессии $$b_8$$, если первый член $$b_1 = 0{,}0027$$ и знаменатель $$q = -10$$.

   Воспользуемся формулой n-го члена геометрической прогрессии: $$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$$.

   Подставим известные значения: $$b_8 = 0{,}0027 \cdot (-10)^{8-1} = 0{,}0027 \cdot (-10)^7 = -0{,}0027 \cdot 10^7 = -27000$$.

   Ответ: $$b_8 = -27000$$

2. Последовательность $$(b_n)$$ - геометрическая прогрессия, в которой $$b_6 = 40$$ и $$q = \sqrt{2}$$. Найдем $$b_1$$.

   Выразим $$b_6$$ через первый член и знаменатель: $$b_6 = b_1 \cdot q^{6-1} = b_1 \cdot q^5$$.

   Тогда $$b_1 = \frac{b_6}{q^5} = \frac{40}{(\sqrt{2})^5} = \frac{40}{4\sqrt{2}} = \frac{10}{\sqrt{2}} = \frac{10\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2}$$.

   Ответ: $$b_1 = 5\sqrt{2}$$

3. Найдем сумму первых шести членов геометрической прогрессии $$(b_n)$$, в которой $$b_1 = 81$$ и $$q = 3$$.

   Воспользуемся формулой суммы n первых членов геометрической прогрессии: $$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$$.

   Подставим известные значения: $$S_6 = \frac{81(3^6 - 1)}{3 - 1} = \frac{81(729 - 1)}{2} = \frac{81 \cdot 728}{2} = 81 \cdot 364 = 29484$$.

   Ответ: $$S_6 = 29484$$

4. Известны два члена геометрической прогрессии: $$b_2 = 0{,}5$$ и $$b_4 = 0{,}005$$. Найдем её первый член.

   Имеем: $$b_2 = b_1 \cdot q$$ и $$b_4 = b_1 \cdot q^3$$.

   Разделим $$b_4$$ на $$b_2$$: $$\frac{b_4}{b_2} = \frac{b_1 \cdot q^3}{b_1 \cdot q} = q^2$$.

   Тогда $$q^2 = \frac{0{,}005}{0{,}5} = 0{,}01$$, следовательно, $$q = \pm 0{,}1$$.

   Найдем $$b_1$$ из $$b_2 = b_1 \cdot q$$: $$b_1 = \frac{b_2}{q}$$.

   Если $$q = 0{,}1$$, то $$b_1 = \frac{0{,}5}{0{,}1} = 5$$.

   Если $$q = -0{,}1$$, то $$b_1 = \frac{0{,}5}{-0{,}1} = -5$$.

   Ответ: $$b_1 = 5$$ или $$b_1 = -5$$

5. Сумма первых трех членов геометрической прогрессии равна 26, знаменатель прогрессии равен 3. Найдем сумму первых шести членов этой прогрессии.

   Имеем: $$S_3 = b_1 + b_2 + b_3 = b_1 + b_1q + b_1q^2 = b_1(1 + q + q^2) = 26$$, где $$q = 3$$.

   Тогда $$b_1(1 + 3 + 3^2) = b_1 \cdot 13 = 26$$, следовательно, $$b_1 = 2$$.

   Сумма первых шести членов: $$S_6 = \frac{b_1(q^6 - 1)}{q - 1} = \frac{2(3^6 - 1)}{3 - 1} = \frac{2(729 - 1)}{2} = 728$$.

   Ответ: $$S_6 = 728$$

Решение заданий варианта 1:

1. Найдем седьмой член геометрической прогрессии $$(b_n)$$, если $$b_1 = 1500$$ и $$q = -0{,}1$$.

   Воспользуемся формулой n-го члена геометрической прогрессии: $$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$$.

   Подставим известные значения: $$b_7 = 1500 \cdot (-0{,}1)^{7-1} = 1500 \cdot (-0{,}1)^6 = 1500 \cdot 0{,}000001 = 0{,}0015$$.

   Ответ: $$b_7 = 0{,}0015$$

2. Последовательность $$(b_n)$$ - геометрическая прогрессия, в которой $$b_4 = 18$$ и $$q = \sqrt{3}$$. Найдем $$b_1$$.

   Выразим $$b_4$$ через первый член и знаменатель: $$b_4 = b_1 \cdot q^{4-1} = b_1 \cdot q^3$$.

   Тогда $$b_1 = \frac{b_4}{q^3} = \frac{18}{(\sqrt{3})^3} = \frac{18}{3\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$$.

   Ответ: $$b_1 = 2\sqrt{3}$$

3. Найдем сумму первых шести членов геометрической прогрессии $$(b_n)$$, в которой $$b_1 = 8$$ и $$q = \frac{1}{2}$$.

   Воспользуемся формулой суммы n первых членов геометрической прогрессии: $$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$$.

   Подставим известные значения: $$S_6 = \frac{8((\frac{1}{2})^6 - 1)}{\frac{1}{2} - 1} = \frac{8(\frac{1}{64} - 1)}{-\frac{1}{2}} = -16(\frac{1}{64} - 1) = -16(\frac{1 - 64}{64}) = -16 \cdot \frac{-63}{64} = \frac{16 \cdot 63}{64} = \frac{63}{4} = 15{,}75$$.

   Ответ: $$S_6 = 15{,}75$$

4. Известны два члена геометрической прогрессии: $$b_2 = 2$$ и $$b_6 = 200$$. Найдем её первый член.

   Имеем: $$b_2 = b_1 \cdot q$$ и $$b_6 = b_1 \cdot q^5$$.

   Разделим $$b_6$$ на $$b_2$$: $$\frac{b_6}{b_2} = \frac{b_1 \cdot q^5}{b_1 \cdot q} = q^4$$.

   Тогда $$q^4 = \frac{200}{2} = 100$$, следовательно, $$q^2 = 10$$ и $$q = \pm \sqrt{10}$$.

   Найдем $$b_1$$ из $$b_2 = b_1 \cdot q$$: $$b_1 = \frac{b_2}{q}$$.

   Если $$q = \sqrt{10}$$, то $$b_1 = \frac{2}{\sqrt{10}} = \frac{2\sqrt{10}}{10} = \frac{\sqrt{10}}{5}$$.

   Если $$q = -\sqrt{10}$$, то $$b_1 = \frac{2}{-\sqrt{10}} = -\frac{2\sqrt{10}}{10} = -\frac{\sqrt{10}}{5}$$.

   Ответ: $$b_1 = \frac{\sqrt{10}}{5}$$ или $$b_1 = -\frac{\sqrt{10}}{5}$$

5. Сумма первых четырех членов геометрической прогрессии равна 45, знаменатель прогрессии равен 2. Найдем сумму первых восьми членов этой прогрессии.

   Имеем: $$S_4 = b_1 + b_2 + b_3 + b_4 = b_1 + b_1q + b_1q^2 + b_1q^3 = b_1(1 + q + q^2 + q^3) = 45$$, где $$q = 2$$.

   Тогда $$b_1(1 + 2 + 2^2 + 2^3) = b_1(1 + 2 + 4 + 8) = b_1 \cdot 15 = 45$$, следовательно, $$b_1 = 3$$.

   Сумма первых восьми членов: $$S_8 = \frac{b_1(q^8 - 1)}{q - 1} = \frac{3(2^8 - 1)}{2 - 1} = 3(256 - 1) = 3 \cdot 255 = 765$$.

   Ответ: $$S_8 = 765$$