Вариант 4 1. Найдите значение выражения: \(\frac{3^{4}\cdot 5^{5}}{15^{4}}\) 2. Решить уравнение: а)\(\sqrt{60 - 8x} = 10\); б) \(7^{3+2x} = 49\) 3. Решить неравенство: а) \(-0,8х - 3 < 0,2x + 7\); б) \((0,12)^{3x+1} \geq 1\) 4. Найдите длину вектора \(3\vec{a} -4\vec{b}\), если \(\vec{a}(1;-2; 2), \vec{b}(0; 1;-3)\). 5. Найдите объем пирамиды с высотой 6 см, основанием которой служит прямоугольный треугольник с катетами 5 см и 2 см. 6. Найдите радиус цилиндра, если его объем равен \(256 \pi \) см³, а высота равна 1 см. 7. В аптеку поступили препараты от двух производителей в количестве 70 наименований, известно, что 1/12 из них от производителя Биофарма, а остальные Брынцалов. Сколько наименований от каждого производителя поступило в аптеку?

Давай решим эти задания по порядку. 1. Найдите значение выражения: \(\frac{3^{4}\cdot 5^{5}}{15^{4}}\) Сначала упростим выражение: \(15^{4} = (3 \cdot 5)^{4} = 3^{4} \cdot 5^{4}\) Теперь наше выражение выглядит так: \[\frac{3^{4} \cdot 5^{5}}{3^{4} \cdot 5^{4}} = \frac{5^{5}}{5^{4}} = 5^{5-4} = 5^{1} = 5\]

Ответ: 5

2. Решить уравнение: а) \(\sqrt{60 - 8x} = 10\) Чтобы решить это уравнение, возведем обе части в квадрат: \[(\sqrt{60 - 8x})^{2} = 10^{2}\] \[60 - 8x = 100\] Теперь решим линейное уравнение: \[-8x = 100 - 60\] \[-8x = 40\] \[x = \frac{40}{-8}\] \[x = -5\] Проверим корень: \[\sqrt{60 - 8 \cdot (-5)} = \sqrt{60 + 40} = \sqrt{100} = 10\] б) \(7^{3+2x} = 49\) Представим 49 как степень числа 7: \[7^{3+2x} = 7^{2}\] Теперь приравняем показатели степеней: \[3 + 2x = 2\] \[2x = 2 - 3\] \[2x = -1\] \[x = -\frac{1}{2}\]

Ответ: а) -5; б) -1/2

3. Решить неравенство: а) \(-0,8х - 3 < 0,2x + 7\) Перенесем все члены с \(x\) в одну сторону, а числа в другую: \[-0,8x - 0,2x < 7 + 3\] \[-1x < 10\] \[x > -10\] б) \((0,12)^{3x+1} \geq 1\) Представим 1 как \((0,12)^{0}\): \[(0,12)^{3x+1} \geq (0,12)^{0}\] Так как основание меньше 1, знак неравенства меняется: \[3x + 1 \leq 0\] \[3x \leq -1\] \[x \leq -\frac{1}{3}\]

Ответ: а) x > -10; б) x \(\leq -\frac{1}{3}\)

4. Найдите длину вектора \(3\vec{a} -4\vec{b}\), если \(\vec{a}(1;-2; 2), \vec{b}(0; 1;-3)\). Сначала найдем координаты вектора \(3\vec{a}\) и \(4\vec{b}\): \[3\vec{a} = 3(1, -2, 2) = (3, -6, 6)\] \[4\vec{b} = 4(0, 1, -3) = (0, 4, -12)\] Теперь найдем координаты вектора \(3\vec{a} - 4\vec{b}\): \[3\vec{a} - 4\vec{b} = (3 - 0, -6 - 4, 6 - (-12)) = (3, -10, 18)\] Длина вектора находится по формуле: \[|3\vec{a} - 4\vec{b}| = \sqrt{3^{2} + (-10)^{2} + 18^{2}} = \sqrt{9 + 100 + 324} = \sqrt{433}\]

Ответ: \(\sqrt{433}\)

5. Найдите объем пирамиды с высотой 6 см, основанием которой служит прямоугольный треугольник с катетами 5 см и 2 см. Сначала найдем площадь основания пирамиды (площадь прямоугольного треугольника): \[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 2 = 5 \text{ см}^2\] Теперь найдем объем пирамиды: \[V = \frac{1}{3} \cdot S \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 5 \cdot 6 = 10 \text{ см}^3\]

Ответ: 10 см³

6. Найдите радиус цилиндра, если его объем равен \(256 \pi \) см³, а высота равна 1 см. Формула объема цилиндра: \[V = \pi r^{2} h\] Подставим известные значения: \[256 \pi = \pi r^{2} \cdot 1\] Решим уравнение относительно \(r\): \[r^{2} = 256\] \[r = \sqrt{256}\] \[r = 16 \text{ см}\]

Ответ: 16 см

7. В аптеку поступили препараты от двух производителей в количестве 70 наименований, известно, что 1/12 из них от производителя Биофарма, а остальные Брынцалов. Сколько наименований от каждого производителя поступило в аптеку? Сначала найдем количество препаратов от Биофарма: \[\frac{1}{12} \cdot 70 = \frac{70}{12} = 5 \frac{10}{12} \approx 5.83\] Поскольку количество препаратов должно быть целым числом, округлим до ближайшего целого. Возможны два варианта: 5 или 6. Так как в условии сказано "1/12 из них", то должно быть целое число, делящееся на 12. Ближайшее к 70 число, делящееся на 12 - это 72. Тогда 1/12 это 6. То есть препаратов от Биофарма 6, а не 5. Предположим, что препаратов от Биофарма 6, тогда от Брынцалов: \[70 - 6 = 64\]

Ответ: Биофарма - 6, Брынцалов - 64

Отличная работа! Ты хорошо справился с этими заданиями. Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!