Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВариант 4 1. Найдите значение выражения √375⋅3√27/√81. 2. Найдите значение выражения 6√7¹⁰⋅2⁷⋅³√2².⁵⋅7. 3. Найдите значение выражения 35⁵√20√a−20⁴√35√a/4⁵√28√a при a)0. 4. Найдите область определения функции y=2x²+3x−5/√8x−x²−12. 5. Решите уравнение ³√4x²−3x−1001=−10. 6. Решите уравнение 5+x=√2x+13. 7. Решите уравнение ⁴√x−3=−2x.
Ответ:
1. Найдите значение выражения
Для начала упростим выражение:
\[\frac{\sqrt[3]{375} \cdot \sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{81}}\]Разложим числа на множители:
\[\frac{\sqrt[3]{125 \cdot 3} \cdot \sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{27 \cdot 3}} = \frac{\sqrt[3]{5^3 \cdot 3} \cdot \sqrt[3]{3^3}}{\sqrt[3]{3^3 \cdot 3}} = \frac{5 \cdot \sqrt[3]{3} \cdot 3}{3 \cdot \sqrt[3]{3}}\]Сократим:
\[\frac{5 \cdot \sqrt[3]{3} \cdot 3}{3 \cdot \sqrt[3]{3}} = 5\]Ответ: 5
2. Найдите значение выражения
\[\sqrt[6]{7^{10} \cdot 2^7} \cdot \sqrt[3]{2^{2.5} \cdot 7}\]Преобразуем корни, чтобы они имели одинаковый показатель. Для этого возведем второй корень в квадрат:
\[\sqrt[6]{(2^{2.5} \cdot 7)^2} = \sqrt[6]{2^5 \cdot 7^2}\]Теперь перемножим корни:
\[\sqrt[6]{7^{10} \cdot 2^7 \cdot 2^5 \cdot 7^2} = \sqrt[6]{7^{12} \cdot 2^{12}}\]Извлечем корень:
\[7^2 \cdot 2^2 = 49 \cdot 4 = 196\]Ответ: 196
3. Найдите значение выражения
\[\frac{35 \sqrt[5]{20 \sqrt{a}} - 20 \sqrt[4]{35 \sqrt{a}}}{4 \sqrt[5]{28 \sqrt{a}}}\]Преобразуем корни:
\[\sqrt[5]{20 \sqrt{a}} = \sqrt[5]{20 a^{\frac{1}{2}}} = \sqrt[5]{2^2 \cdot 5 \cdot a^{\frac{1}{2}}}\] \[\sqrt[4]{35 \sqrt{a}} = \sqrt[4]{35 a^{\frac{1}{2}}} = \sqrt[4]{5 \cdot 7 \cdot a^{\frac{1}{2}}}\] \[\sqrt[5]{28 \sqrt{a}} = \sqrt[5]{28 a^{\frac{1}{2}}} = \sqrt[5]{2^2 \cdot 7 \cdot a^{\frac{1}{2}}}\]Выражение можно переписать как:
\[\frac{35 \sqrt[5]{20 \sqrt{a}} - 20 \sqrt[4]{35 \sqrt{a}}}{4 \sqrt[5]{28 \sqrt{a}}} = \frac{35 \sqrt[5]{2^2 \cdot 5 \cdot a^{\frac{1}{2}}} - 20 \sqrt[4]{5 \cdot 7 \cdot a^{\frac{1}{2}}}}{4 \sqrt[5]{2^2 \cdot 7 \cdot a^{\frac{1}{2}}}}\]Это выражение упростить не удается.
Ответ: Выражение не упрощается.
4. Найдите область определения функции
\[y = \frac{2x^2 + 3x - 5}{\sqrt[8]{8x - x^2 - 12}}\]Подкоренное выражение должно быть больше нуля, так как корень четной степени:
\[8x - x^2 - 12 > 0\]Умножим на -1:
\[x^2 - 8x + 12 < 0\]Найдем корни квадратного уравнения:
\[x^2 - 8x + 12 = 0\]По теореме Виета:
\[x_1 + x_2 = 8, \quad x_1 \cdot x_2 = 12\] \[x_1 = 2, \quad x_2 = 6\]Тогда неравенство можно записать как:
\[(x - 2)(x - 6) < 0\]Решением неравенства является интервал (2, 6).
Ответ: (2, 6)
5. Решите уравнение
\[\sqrt[3]{4x^2 - 3x - 1001} = -10\]Возведем обе части в куб:
\[4x^2 - 3x - 1001 = (-10)^3\] \[4x^2 - 3x - 1001 = -1000\] \[4x^2 - 3x - 1 = 0\]Найдем дискриминант:
\[D = (-3)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1) = 9 + 16 = 25\]Найдем корни:
\[x_1 = \frac{3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 4} = \frac{3 + 5}{8} = \frac{8}{8} = 1\] \[x_2 = \frac{3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 4} = \frac{3 - 5}{8} = \frac{-2}{8} = -\frac{1}{4}\]Ответ: x = 1, x = -1/4
6. Решите уравнение
\[5 + x = \sqrt{2x + 13}\]Возведем обе части в квадрат:
\[(5 + x)^2 = 2x + 13\] \[25 + 10x + x^2 = 2x + 13\] \[x^2 + 8x + 12 = 0\]Найдем корни по теореме Виета:
\[x_1 + x_2 = -8, \quad x_1 \cdot x_2 = 12\] \[x_1 = -2, \quad x_2 = -6\]Проверим корни:
При x = -2:
\[5 + (-2) = \sqrt{2 \cdot (-2) + 13}\] \[3 = \sqrt{-4 + 13}\] \[3 = \sqrt{9}\] \[3 = 3\]При x = -6:
\[5 + (-6) = \sqrt{2 \cdot (-6) + 13}\] \[-1 = \sqrt{-12 + 13}\] \[-1 = \sqrt{1}\] \[-1 = 1\]Корень x = -6 не подходит.
Ответ: x = -2
7. Решите уравнение
\[\sqrt[4]{x - 3} = -2x\]Так как корень четной степени не может быть отрицательным, то -2x должно быть неотрицательным, то есть x ≤ 0.
Возведем обе части в четвертую степень:
\[x - 3 = (-2x)^4\] \[x - 3 = 16x^4\] \[16x^4 - x + 3 = 0\]Это уравнение не имеет очевидных решений. Заметим, что при x = 0, 16x^4 - x + 3 = 3 > 0.
Можно сделать вывод, что уравнение не имеет решений, так как левая часть всегда положительна, а x ≤ 0.
Ответ: Решений нет
Ты отлично поработал! Если у тебя возникнут еще вопросы, не стесняйся спрашивать. У тебя все получится!
