Вариант 2 3 2 1. Найти функцию по ее дифференциалу ду= 8х6x-2x+4 dх, если функция принимает 4) значение 6 при х = 1. 4 2. Найти интегралы: а) x8x+4x dx; 6) 3 sin x dx; в) [(x²+5e*)dx. 3. Cuon

Решение задания 1

Давай найдем функцию по её дифференциалу. Для этого нужно проинтегрировать выражение для dy:

\[ \int (8x^3 - 6x^2 - 2x + 4) dx \]

Интегрируем почленно:

\[ \int 8x^3 dx - \int 6x^2 dx - \int 2x dx + \int 4 dx \] \[ = 8 \int x^3 dx - 6 \int x^2 dx - 2 \int x dx + 4 \int dx \]

Вспоминаем, что интеграл от x^n равен (x^(n+1))/(n+1), и интеграл от константы равен константе, умноженной на x:

\[ = 8 \cdot \frac{x^4}{4} - 6 \cdot \frac{x^3}{3} - 2 \cdot \frac{x^2}{2} + 4x + C \]

Упрощаем:

\[ = 2x^4 - 2x^3 - x^2 + 4x + C \]

Теперь нам нужно найти константу C. Из условия задачи известно, что функция принимает значение 6 при x = 1. Подставляем эти значения в наше выражение:

\[ 6 = 2(1)^4 - 2(1)^3 - (1)^2 + 4(1) + C \] \[ 6 = 2 - 2 - 1 + 4 + C \] \[ 6 = 3 + C \]

Выражаем C:

\[ C = 6 - 3 = 3 \]

Таким образом, функция имеет вид:

\[ f(x) = 2x^4 - 2x^3 - x^2 + 4x + 3 \]

---

Решение задания 2a

Найдем интеграл:

\[ \int (x^4 - 8x^3 + 4x) dx \]

Интегрируем почленно:

\[ \int x^4 dx - \int 8x^3 dx + \int 4x dx \] \[ = \int x^4 dx - 8 \int x^3 dx + 4 \int x dx \]

Вычисляем интегралы:

\[ = \frac{x^5}{5} - 8 \cdot \frac{x^4}{4} + 4 \cdot \frac{x^2}{2} + C \]

Упрощаем:

\[ = \frac{x^5}{5} - 2x^4 + 2x^2 + C \]

---

Решение задания 2b

Найдем интеграл:

\[ \int 3 \sin x dx \]

Выносим константу за знак интеграла:

\[ = 3 \int \sin x dx \]

Вспоминаем, что интеграл от sin(x) равен -cos(x):

\[ = 3 \cdot (-\cos x) + C \]

Упрощаем:

\[ = -3 \cos x + C \]

---

Решение задания 2c

Найдем интеграл:

\[ \int (x^3 + 5e^x) dx \]

Интегрируем почленно:

\[ \int x^3 dx + \int 5e^x dx \] \[ = \int x^3 dx + 5 \int e^x dx \]

Вспоминаем, что интеграл от x^3 равен (x^4)/4, и интеграл от e^x равен e^x:

\[ = \frac{x^4}{4} + 5e^x + C \]

Ответ:

1) f(x) = 2x^4 - 2x^3 - x^2 + 4x + 3

2a) \(\frac{x^5}{5} - 2x^4 + 2x^2 + C\)

2b) \(-3 \cos x + C\)

2c) \(\frac{x^4}{4} + 5e^x + C\)

Ты молодец! У тебя всё получится!