Вариант №3. 1. Найти координаты вектора Ав и М середины отрезка, если А (-6; 5; -8), B (-4; -1; 6). 2. Даны векторы « (3;-4; 5) и с {-6;-1; 4). Найти | 26-2с. 3. Изобразить систему координат Охуг и построить точку C(3;-2; 5). Найти расстояние от этой точки до координатных плоскостей. 4. Даны точки А(-1; 53), В(7; -1; 3), С(3; −2; 6). Доказать, что треугольник АВС прямоугольный. Найти длину медианы треугольника, проведенной из вершины прямого угла.

Ответ: Решение варианта №3 контрольной работы по геометрии.

Задача 1

Найдем координаты вектора \(\overrightarrow{AB}\) и координаты середины отрезка M.

• Координаты вектора \(\overrightarrow{AB}\) находятся вычитанием координат начала из координат конца:

\[\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A)\] \[\overrightarrow{AB} = (-4 - (-6); -1 - 5; 6 - (-8)) = (2; -6; 14)\]

• Координаты середины отрезка M находятся как полусумма соответствующих координат концов отрезка:

\[M = (\frac{x_A + x_B}{2}; \frac{y_A + y_B}{2}; \frac{z_A + z_B}{2})\] \[M = (\frac{-6 + (-4)}{2}; \frac{5 + (-1)}{2}; \frac{-8 + 6}{2}) = (-5; 2; -1)\]

Ответ: \(\overrightarrow{AB} = (2; -6; 14)\), M = (-5; 2; -1)

Задача 2

Даны векторы \(\vec{a} = (3; -4; 5)\) и \(\vec{c} = (-6; -1; 4)\). Найдем вектор \(\vec{b} = 2\vec{a} - 2\vec{c}\) и его длину.

• Сначала найдем координаты вектора \(2\vec{a}\):

\[2\vec{a} = (2\cdot3; 2\cdot(-4); 2\cdot5) = (6; -8; 10)\]

• Найдем координаты вектора \(2\vec{c}\):

\[2\vec{c} = (2\cdot(-6); 2\cdot(-1); 2\cdot4) = (-12; -2; 8)\]

• Теперь найдем координаты вектора \(\vec{b} = 2\vec{a} - 2\vec{c}\):

\[\vec{b} = (6 - (-12); -8 - (-2); 10 - 8) = (18; -6; 2)\]

• Найдем длину вектора \(\vec{b}\):

\[|\vec{b}| = \sqrt{18^2 + (-6)^2 + 2^2} = \sqrt{324 + 36 + 4} = \sqrt{364} = 2\sqrt{91}\]

Ответ: \(|2\vec{a} - 2\vec{c}| = 2\sqrt{91}\)

Задача 3

Изобразим систему координат Oxyz и построим точку C(3; -2; 5). Найдем расстояние от этой точки до координатных плоскостей.

Расстояние от точки до координатной плоскости равно модулю соответствующей координаты.

• Расстояние от точки C до плоскости Oxy равно |5| = 5.
• Расстояние от точки C до плоскости Oxz равно |-2| = 2.
• Расстояние от точки C до плоскости Oyz равно |3| = 3.

Ответ: Расстояния до плоскостей Oxy, Oxz, Oyz равны 5, 2 и 3 соответственно.

Задача 4

Даны точки A(-1; 5; 3), B(7; -1; 3), C(3; -2; 6). Докажем, что треугольник ABC - прямоугольный. Найдем длину медианы треугольника, проведенной из вершины прямого угла.

• Найдем длины сторон треугольника:

\[AB = \sqrt{(7-(-1))^2 + (-1-5)^2 + (3-3)^2} = \sqrt{64 + 36 + 0} = \sqrt{100} = 10\] \[BC = \sqrt{(3-7)^2 + (-2-(-1))^2 + (6-3)^2} = \sqrt{16 + 1 + 9} = \sqrt{26}\] \[AC = \sqrt{(3-(-1))^2 + (-2-5)^2 + (6-3)^2} = \sqrt{16 + 49 + 9} = \sqrt{74}\]

Проверим теорему Пифагора:

\[AB^2 = AC^2 + BC^2\] \[100 = 74 + 26\]

Равенство выполняется, значит, треугольник ABC - прямоугольный с прямым углом C.

• Найдем середину гипотенузы AB:

M = (\(\frac{-1+7}{2}\); \(\frac{5-1}{2}\); \(\frac{3+3}{2}\)) = (3; 2; 3)

• Найдем длину медианы CM:

\[CM = \sqrt{(3-3)^2 + (-2-2)^2 + (6-3)^2} = \sqrt{0 + 16 + 9} = \sqrt{25} = 5\]

Ответ: Треугольник ABC - прямоугольный, длина медианы CM = 5.

Ответ: Решение варианта №3 контрольной работы по геометрии.