Вариант 1 1. Найти область определения функции y = 4√4-x². 2. Изобразить эскиз графика функции у = х -5. 1) Выяснить, на каких промежутках функция убывает. 2) Сравнить числа: -5 и 1; (3,2)-5 и (3√2)-5. (1)и 7 3. Решить уравнение: 1) √1-x = 3; 2) √x + 2 = √3 - x; 3) √1-x = x + 1; 4) √2x+5-√x + 6 = 1. 4. Найти функцию, обратную к функции y = (x – 8)-1, указать её область определения и множество значений. 5. Решить неравенство √x + 8 > x + 2.

1. Найти область определения функции y = ⁴√4 - x²

Область определения функции (domain) – это множество всех допустимых значений x, при которых функция определена, то есть принимает действительные значения.

В данном случае, функция y = ⁴√4 - x² является корнем четвертой степени, а это означает, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным: 4 - x² ≥ 0.

Решим это неравенство:

4 - x² ≥ 0

x² ≤ 4

-2 ≤ x ≤ 2

Таким образом, область определения функции – это отрезок [-2, 2].

Ответ: [-2, 2]

2. Изобразить эскиз графика функции y = x⁻⁵

Функция y = x⁻⁵ эквивалентна y = 1/x⁵. Это функция не определена при x = 0. Когда x > 0, функция убывает, и когда x < 0, функция также убывает. Функция симметрична относительно начала координат (нечетная функция).

1) Выяснить, на каких промежутках функция убывает.

Для функции y = x⁻⁵, найдем её производную:

y' = -5x⁻⁶ = -5/x⁶

Производная всегда отрицательна для всех x ≠ 0, так как x⁶ всегда положительно, а -5 делает всё выражение отрицательным. Следовательно, функция убывает на интервалах (-∞, 0) и (0, ∞).

2) Сравнить числа: (1/7)⁻⁵ и 1; (3,2)⁻⁵ и (3√2)⁻⁵.

Сравним числа:

1. (1/7)⁻⁵ и 1

(1/7)⁻⁵ = 7⁵ = 7 * 7 * 7 * 7 * 7 = 16807

Так как 16807 > 1, то (1/7)⁻⁵ > 1.

2. (3,2)⁻⁵ и (3√2)⁻⁵

Сравним (3,2)⁻⁵ и (3√2)⁻⁵. Это то же самое, что сравнить 1/(3,2)⁵ и 1/(3√2)⁵.

Сравним знаменатели (3,2)⁵ и (3√2)⁵. Так как 3√2 ≈ 3 * 1.414 = 4.242

3. 2 < 3√2, следовательно (3.2)⁵ < (3√2)⁵

Поскольку знаменатель (3,2)⁵ меньше, дробь 1/(3,2)⁵ больше, чем 1/(3√2)⁵.

(3,2)⁻⁵ > (3√2)⁻⁵

Ответ: (1/7)⁻⁵ > 1; (3,2)⁻⁵ > (3√2)⁻⁵

3. Решить уравнение:

1) √1 - x = 3

Возведем обе части уравнения в квадрат:

(√1 - x)² = 3²

1 - x = 9

-x = 8

x = -8

Проверка: √1 - (-8) = √9 = 3

Ответ: x = -8

2) √x + 2 = √3 - x

Возведем обе части уравнения в квадрат:

(√x + 2)² = (√3 - x)²

x + 2 = 3 - x

2x = 1

x = 1/2 = 0.5

Проверка: √0.5 + 2 = √2.5 √3 - 0.5 = √2.5

Ответ: x = 0.5

3) √1 - x = x + 1

Возведем обе части уравнения в квадрат:

(√1 - x)² = (x + 1)²

1 - x = x² + 2x + 1

x² + 3x = 0

x(x + 3) = 0

x = 0 или x = -3

Проверка: Для x = 0: √1 - 0 = 0 + 1 => √1 = 1 (верно) Для x = -3: √1 - (-3) = -3 + 1 => √4 = -2 => 2 = -2 (неверно)

Ответ: x = 0

4) √2x + 5 - √x + 6 = 1

√2x + 5 = √x + 6 + 1

(√2x + 5)² = (√x + 6 + 1)²

2x + 5 = (x + 6) + 2√(x + 6) + 1

2x + 5 = x + 7 + 2√(x + 6)

x - 2 = 2√(x + 6)

(x - 2)² = (2√(x + 6))²

x² - 4x + 4 = 4(x + 6)

x² - 4x + 4 = 4x + 24

x² - 8x - 20 = 0

Решим квадратное уравнение:

D = (-8)² - 4 * 1 * (-20) = 64 + 80 = 144

√D = 12

x₁ = (8 + 12) / 2 = 10

x₂ = (8 - 12) / 2 = -2

Проверка:

Для x = 10:

√2*10 + 5 - √10 + 6 = √25 - √16 = 5 - 4 = 1 (верно)

Для x = -2:

√2*(-2) + 5 - √-2 + 6 = √1 - √4 = 1 - 2 = -1 (неверно)

Ответ: x = 10

4. Найти функцию, обратную к функции y = (x – 8)⁻¹, указать её область определения и множество значений.

y = (x - 8)⁻¹ = 1/(x - 8)

Чтобы найти обратную функцию, поменяем местами x и y и решим относительно y:

x = 1/(y - 8)

y - 8 = 1/x

y = 1/x + 8

Область определения обратной функции: x ≠ 0, то есть (-∞, 0) ∪ (0, ∞).

Множество значений обратной функции: y ≠ 8, то есть (-∞, 8) ∪ (8, ∞).

Ответ: y = 1/x + 8. Область определения: (-∞, 0) ∪ (0, ∞). Множество значений: (-∞, 8) ∪ (8, ∞).

5. Решить неравенство √x + 8 > x + 2.

Сначала определим область допустимых значений: x + 8 ≥ 0, значит x ≥ -8.

Теперь рассмотрим два случая:

1. x + 2 < 0, то есть x < -2. В этом случае неравенство всегда выполняется, так как корень всегда неотрицателен, а x + 2 отрицательно. Значит, -8 ≤ x < -2 является решением.
2. x + 2 ≥ 0, то есть x ≥ -2. В этом случае возведем обе части неравенства в квадрат: √x + 8 > x + 2 (√x + 8)² > (x + 2)² x + 8 > x² + 4x + 4 x² + 3x - 4 < 0 (x + 4)(x - 1) < 0 Решением этого неравенства является -4 < x < 1. Учитывая, что x ≥ -2, получаем -2 ≤ x < 1.

Объединяем решения: -8 ≤ x < -2 и -2 ≤ x < 1, получаем -8 ≤ x < 1.

Ответ: [-8, 1)