Вариант 2 1. Непрерывная функция - это... 2. Найдите производную: a) y = sin2x - (1 + x²)cosx; 6) y = (1+x)(1 - cos3x); B) y = 2sin2x+4x; 2x3 г) y = (x² + 1)(x - 5x²). 3. Найдите предел lim 11400 x6 +5x-1 7x6+7 4. Упростите выражение C2-d2 b 3ab c-d c+d a

Ответ: Решение ниже

2. Найдите производную:

а) y = sin2x - (1 + x²)cosx

Производная суммы/разности равна сумме/разности производных:

\[y' = (sin2x)' - ((1 + x^2)cosx)'\]

Производная sin2x:

\[(sin2x)' = 2cos2x\]

Производная (1 + x²)cosx:

\[((1 + x^2)cosx)' = (1 + x^2)' \cdot cosx + (1 + x^2) \cdot (cosx)'\]

\[= 2x \cdot cosx - (1 + x^2)sinx\]

Итого:

\[y' = 2cos2x - (2x \cdot cosx - (1 + x^2)sinx)\]

\[y' = 2cos2x - 2xcosx + (1 + x^2)sinx\]

б) y = (1+x)(1 - cos3x)

\[y' = (1+x)'(1 - cos3x) + (1+x)(1 - cos3x)'\]

\[y' = 1 \cdot (1 - cos3x) + (1+x)(3sin3x)\]

\[y' = 1 - cos3x + 3(1+x)sin3x\]

в) y = (2sin2x+4x) / (2x³)

\[y' = \frac{(2sin2x+4x)' \cdot (2x^3) - (2sin2x+4x) \cdot (2x^3)'}{(2x^3)^2}\]

\[y' = \frac{(4cos2x+4) \cdot (2x^3) - (2sin2x+4x) \cdot (6x^2)}{4x^6}\]

\[y' = \frac{8x^3cos2x+8x^3 - 12x^2sin2x-24x^3}{4x^6}\]

\[y' = \frac{2xcos2x+2x - 3sin2x-6x}{x^4}\]

\[y' = \frac{2xcos2x - 3sin2x - 4x}{x^4}\]

г) y = (x² + 1)(x - 5x²)

\[y' = (x^2 + 1)'(x - 5x^2) + (x^2 + 1)(x - 5x^2)'\]

\[y' = 2x(x - 5x^2) + (x^2 + 1)(1 - 10x)\]

\[y' = 2x^2 - 10x^3 + x^2 - 10x^3 + 1 - 10x\]

\[y' = -20x^3 + 3x^2 - 10x + 1\]

3. Найдите предел

\[\lim_{x \to \infty} \frac{x^6 +5x-1}{7x^6+7}\]

Разделим числитель и знаменатель на x⁶:

\[\lim_{x \to \infty} \frac{1 +\frac{5}{x^5}-\frac{1}{x^6}}{7+\frac{7}{x^6}} = \frac{1 + 0 - 0}{7 + 0} = \frac{1}{7}\]

4. Упростите выражение

\[\frac{c^2-d^2}{3ab} \cdot \frac{b}{c-d} \cdot \frac{a}{c+d}\]

\[= \frac{(c-d)(c+d)}{3ab} \cdot \frac{b}{c-d} \cdot \frac{a}{c+d}\]

\[= \frac{(c-d)(c+d) \cdot b \cdot a}{3ab \cdot (c-d) \cdot (c+d)}\]

\[= \frac{1}{3}\]

Ответ: Решение выше

Ответ: 2a) y' = 2cos2x - 2xcosx + (1 + x^2)sinx, 2б) y' = 1 - cos3x + 3(1+x)sin3x, 2в) y' = \frac{2xcos2x - 3sin2x - 4x}{x^4}, 2г) y' = -20x^3 + 3x^2 - 10x + 1, 3) 1/7, 4) 1/3