Вариант 1 1. Один острый угол прямоугольного треугольника на 24° меньше другого. Найдите эти углы. 2. В прямоугольном треугольнике один из внешних углов равен 150°. Найдите гипотенузу треугольника, если его меньший катет равен 51 см. 3. Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, а сумма гипотенузы и меньшего катета равна 18 см. Найдите гипотенузу и меньший катет.

Задача 1

Пусть один острый угол равен \( x \), тогда другой равен \( x + 24° \). Поскольку сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90°, составим уравнение:

\[x + (x + 24°) = 90°\]

Решение:

1. Шаг 1: Решим уравнение:
\[2x + 24° = 90°\] \[2x = 90° - 24°\] \[2x = 66°\] \[x = 33°\]
2. Шаг 2: Найдем второй угол:
\[x + 24° = 33° + 24° = 57°\]

Ответ: Углы равны 33° и 57°.

Задача 2

Один из внешних углов равен 150°, следовательно, смежный с ним внутренний угол равен:

\[180° - 150° = 30°\]

Меньший катет лежит напротив меньшего угла, то есть напротив угла 30°. Обозначим гипотенузу за \( c \), а меньший катет за \( a \). Известно, что \( a = 51 \) см. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы:

\[a = \frac{1}{2}c\]

Решение:

1. Шаг 1: Найдем гипотенузу:
\[c = 2a = 2 \cdot 51 = 102 \text{ см}\]

Ответ: Гипотенуза равна 102 см.

Задача 3

Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, следовательно, другой острый угол равен 30° (90° - 60° = 30°). Пусть гипотенуза равна \( c \), а меньший катет (лежащий против угла 30°) равен \( a \). Известно, что:

\[c + a = 18 \text{ см}\]

Используем свойство катета, лежащего против угла в 30°:

\[a = \frac{1}{2}c\]

Решение:

1. Шаг 1: Подставим выражение для \( a \) в первое уравнение:
\[c + \frac{1}{2}c = 18\] \[\frac{3}{2}c = 18\] \[c = \frac{2}{3} \cdot 18 = 12 \text{ см}\]
2. Шаг 2: Найдем меньший катет:
\[a = \frac{1}{2}c = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6 \text{ см}\]

Ответ: Гипотенуза равна 12 см, меньший катет равен 6 см.