Вариант 1. 1) Один уз острых углов прямоугольного треугольника в 4 раза больше другого. Найдите острые углы этого прямоугольного треугольника. 2) По данным рисунка найдите угол THF T 58 K 29 HF 3)Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, сумма гипотенузы г меньшего из катетов равны 15 см. Найдите гипотенузу. 4) Биссектрисы прямого и острого углов прямоугольного треугольника при пересечении образуют углы, один из которых равен 132°. Найдите острые углы треугольника. 5) В равнобедренном треугольнике один из углов равен 120°, а боковая сторона равна 16 см. Найдите высоту, проведенную к основанию.

Решение задачи 1:

Пусть один острый угол равен \(x\), тогда другой равен \(4x\). Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

• Составляем уравнение: \(x + 4x = 90\)
• \(5x = 90\)
• \(x = 18\)

Тогда один угол равен 18°, а другой \(4 \cdot 18 = 72\)°.

Ответ: 18° и 72°

Решение задачи 2:

Сумма углов в треугольнике равна 180°. В прямоугольном треугольнике \( \angle K = 90° \).

• Найдем угол \( \angle T = 90 - 29 = 61° \).
• Тогда угол \( \angle THF = 180 - (61 + 58) = 180 - 119 = 61° \).

Ответ: 61°

Решение задачи 3:

Пусть гипотенуза равна \(c\), а меньший катет равен \(a\). Тогда \(c + a = 15\) и один из углов равен 60°, значит, второй угол равен 30°.

• Меньший катет лежит против угла в 30°, поэтому \(a = \frac{1}{2}c\).
• Подставляем в первое уравнение: \(c + \frac{1}{2}c = 15\)
• \(\frac{3}{2}c = 15\)
• \(c = 10\)

Ответ: 10 см

Решение задачи 4:

Пусть острый угол равен \(x\). Тогда другой острый угол равен \(90 - x\).

• Биссектрисы этих углов равны \(\frac{x}{2}\) и \(\frac{90 - x}{2}\).
• Угол между биссектрисами равен 132°, поэтому \(180 - (\frac{x}{2} + \frac{90 - x}{2}) = 132\).
• \(\frac{x}{2} + \frac{90 - x}{2} = 48\)
• \(x = 6° \)

Тогда один острый угол равен 6°, а другой \(90 - 6 = 84\)°.

Ответ: 6° и 84°

Решение задачи 5:

В равнобедренном треугольнике один из углов равен 120°, значит, это угол при вершине, а углы при основании равны.

• \(\frac{180 - 120}{2} = 30\)°.
• Боковая сторона равна 16 см.
• Высота, проведенная к основанию, является также медианой и биссектрисой.
• Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой, половиной основания и боковой стороной.
• Высота является катетом, лежащим против угла в 30°, поэтому она равна половине гипотенузы.

Следовательно, высота равна \(\frac{1}{2} \cdot 16 = 8\) см.

Ответ: 8 см