Вариант 2 1. Около правильного шестиугольника описана окружность и в него вписана окружность. Найдите площадь меньшего круга и длину окружности, ограничивающей его, если радиус большей окружности равен 6/3 см. 2. Длина дуги окружности с градусной мерой 150° равна 10л см. Вычислите площадь соответствующего данной дуге кру- гового сектора. 3. Вычислите площадь заштрихованной на рисунке фигуры, если ВО = 3 см, LAOB = 120° (рис. 12.58). 4*. Периметр правильного треугольника, описанного около окружности, на 18√5 см больше периметра правильного тре- угольника, вписанного в эту же окружность. Найдите радиус окружности.

Задание 1

Пошаговое решение:

1. Радиус большей окружности (R) равен 6√3 см. Радиус меньшей окружности (r) равен апофеме правильного шестиугольника, то есть \( r = R \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \).
2. Подставляем значение R: \( r = 6\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6 \cdot \frac{3}{2} = 9 \) см.
3. Площадь меньшего круга (S) вычисляется по формуле \( S = \pi r^2 \). Подставляем значение r: \( S = \pi \cdot 9^2 = 81\pi \) см².
4. Длина окружности (C) вычисляется по формуле \( C = 2 \pi r \). Подставляем значение r: \( C = 2 \pi \cdot 9 = 18\pi \) см.

Ответ: Площадь меньшего круга: \( 81\pi \) см², длина окружности: \( 18\pi \) см.

Задание 2

Пошаговое решение:

1. Длина дуги (l) равна 10π см, а градусная мера (α) равна 150°. Длина дуги связана с радиусом (R) формулой \( l = \frac{\pi R \alpha}{180} \).
2. Выражаем радиус R: \( R = \frac{180l}{\pi \alpha} \). Подставляем известные значения: \( R = \frac{180 \cdot 10\pi}{\pi \cdot 150} = \frac{1800}{150} = 12 \) см.
3. Площадь кругового сектора (S) вычисляется по формуле \( S = \frac{\pi R^2 \alpha}{360} \). Подставляем значения: \( S = \frac{\pi \cdot 12^2 \cdot 150}{360} = \frac{\pi \cdot 144 \cdot 150}{360} = \frac{21600\pi}{360} = 60\pi \) см².

Ответ: Площадь кругового сектора равна \( 60\pi \) см².

Задание 3

Пошаговое решение:

1. Площадь сектора с углом 120° и радиусом 3 см вычисляется по формуле \( S_{сектора} = \frac{\pi R^2 \alpha}{360} \). Подставляем значения: \( S_{сектора} = \frac{\pi \cdot 3^2 \cdot 120}{360} = \frac{9\pi \cdot 120}{360} = 3\pi \) см².
2. Площадь треугольника AOB с углом 120° и сторонами 3 см вычисляется по формуле \( S_{треуг} = \frac{1}{2} a b \sin(\alpha) \). Подставляем значения: \( S_{треуг} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 \cdot \sin(120°) = \frac{9}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{9\sqrt{3}}{4} \) см².
3. Площадь заштрихованной фигуры равна разности площади сектора и площади треугольника: \( S = S_{сектора} - S_{треуг} = 3\pi - \frac{9\sqrt{3}}{4} \) см².

Ответ: Площадь заштрихованной фигуры равна \( 3\pi - \frac{9\sqrt{3}}{4} \) см².

Задание 4

Пошаговое решение:

1. Пусть радиус окружности равен r. Периметр правильного треугольника, вписанного в окружность, равен \( 3\sqrt{3}r \). Периметр правильного треугольника, описанного около окружности, равен \( 6\sqrt{3}r \).
2. Разница между периметрами составляет \( 6\sqrt{3}r - 3\sqrt{3}r = 3\sqrt{3}r \). По условию, эта разница равна \( 18\sqrt{5} \) см.
3. Получаем уравнение: \( 3\sqrt{3}r = 18\sqrt{5} \). Выражаем радиус r: \( r = \frac{18\sqrt{5}}{3\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{5}}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{5}\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{15} \) см.

Ответ: Радиус окружности равен \( 2\sqrt{15} \) см.