Вариант 3 1. Определите число корней уравнения: a) x² + 3x - 7 = 0; 2. Решите уравнение: a) x² + 7x60 = 0; 2 в) (x² - 22)22(x²-22) б) 0,5x2x-8 = 0. - 6)-x² - 3x = 0; 2 5 4 - 3 = 0. 3. Одна сторона прямоугольника на 14 см меньше другой. Найдите стороны прямоугольника, если его диагональ равна 26 см. 3x + 1 x 18 = 2 4. Решите уравнение 3+ х x-3 9-x² 5. При каких значениях параметра р уравнение (p+2)x² + (p + 2)x + 2 = 0 имеет один корень?

1. Определите число корней уравнения:

а) \[ -x^2 + 3x - 7 = 0 \]

• Вычислим дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4(-1)(-7) = 9 - 28 = -19 \]
• Так как дискриминант отрицательный, уравнение не имеет вещественных корней.

б) \[ 0.5x^2 - x - 8 = 0 \]

• Умножим уравнение на 2: \[ x^2 - 2x - 16 = 0 \]
• Вычислим дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4(1)(-16) = 4 + 64 = 68 \]
• Так как дискриминант положительный, уравнение имеет два вещественных корня.

2. Решите уравнение:

а) \[ x^2 + 7x - 60 = 0 \]

• Вычислим дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4(1)(-60) = 49 + 240 = 289 \]
• Найдем корни: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 \pm \sqrt{289}}{2} = \frac{-7 \pm 17}{2} \]
• \[ x_1 = \frac{-7 + 17}{2} = \frac{10}{2} = 5 \]
• \[ x_2 = \frac{-7 - 17}{2} = \frac{-24}{2} = -12 \]

б) \[ -x^2 - 3x - \frac{5}{4} = 0 \]

• Умножим уравнение на -4: \[ 4x^2 + 12x + 5 = 0 \]
• Вычислим дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 12^2 - 4(4)(5) = 144 - 80 = 64 \]
• Найдем корни: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-12 \pm \sqrt{64}}{8} = \frac{-12 \pm 8}{8} \]
• \[ x_1 = \frac{-12 + 8}{8} = \frac{-4}{8} = -\frac{1}{2} \]
• \[ x_2 = \frac{-12 - 8}{8} = \frac{-20}{8} = -\frac{5}{2} \]

в) \[ (x^2 - 22)^2 - 2(x^2 - 22) - 3 = 0 \]

• Замена: \[ t = x^2 - 22 \]
• Уравнение: \[ t^2 - 2t - 3 = 0 \]
• \[ (t - 3)(t + 1) = 0 \]
• \[ t_1 = 3, \quad t_2 = -1 \]
• \[ x^2 - 22 = 3 \] или \[ x^2 - 22 = -1 \]
• \[ x^2 = 25 \] или \[ x^2 = 21 \]
• \[ x = \pm 5 \] или \[ x = \pm \sqrt{21} \]

3. Задача про прямоугольник:

• Пусть одна сторона равна \[ x \], тогда другая \[ x + 14 \].
• По теореме Пифагора: \[ x^2 + (x + 14)^2 = 26^2 \]
• \[ x^2 + x^2 + 28x + 196 = 676 \]
• \[ 2x^2 + 28x - 480 = 0 \]
• \[ x^2 + 14x - 240 = 0 \]
• \[ (x + 24)(x - 10) = 0 \]
• \[ x = -24 \] (не подходит) или \[ x = 10 \]
• Стороны прямоугольника: 10 см и 24 см.

4. Решите уравнение:

\[ \frac{3x + 1}{3 + x} - \frac{x}{x - 3} = \frac{18}{9 - x^2} \]

• Приведем к общему знаменателю: \[ \frac{(3x + 1)(x - 3) + x(x + 3)}{ (3 + x)(x - 3)} = - \frac{18}{(x + 3)(x - 3)} \]
• \[ (3x + 1)(x - 3) + x(x + 3) = -18 \]
• \[ 3x^2 - 9x + x - 3 + x^2 + 3x = -18 \]
• \[ 4x^2 - 5x + 15 = 0 \]
• Дискриминант: \[ D = (-5)^2 - 4(4)(15) = 25 - 240 = -215 \]
• Так как дискриминант отрицательный, уравнение не имеет решений.

5. При каких значениях параметра p уравнение имеет один корень?

\[ (p + 2)x^2 + (p + 2)x + 2 = 0 \]

• Если \[ p = -2 \], то \[ 2 = 0 \] (нет решений).
• Если \[ p
  eq -2 \], то квадратное уравнение имеет один корень, когда дискриминант равен нулю: \[ D = (p + 2)^2 - 4(p + 2)(2) = 0 \]
• \[ (p + 2)(p + 2 - 8) = 0 \]
• \[ (p + 2)(p - 6) = 0 \]
• \[ p = -2 \] или \[ p = 6 \]
• Так как при \[ p = -2 \] уравнение не имеет решений, то \[ p = 6 \].