Вариант 2 1. Определите число корней уравнения: a) 3x² + 7x - 25 = 0; б) 2x² + x + 5 = 0. 2. Решите уравнение: a) x² - 11x - 42 = 0; б) -2x² - 5x - 2 = 0; в) x⁴ - 13x² + 36 = 0. 3. Один катет прямоугольного треугольника на 5 см меньше другого. Найдите длину каждого катета, если площадь этого треугольника равна 42 см³. 4. Решите уравнение x/(x-2) + 8/(4-x²) - 1/(x+2) = 0. 5. При каких значениях параметра р уравнение x²- px + p = 0 имеет один корень?

1. Определите число корней уравнения:

a) 3x² + 7x - 25 = 0

Для определения количества корней квадратного уравнения используем дискриминант D = b² - 4ac.

В данном случае a = 3, b = 7, c = -25.

D = 7² - 4 * 3 * (-25) = 49 + 300 = 349

Так как D > 0, уравнение имеет два корня.

б) 2x² + x + 5 = 0

Здесь a = 2, b = 1, c = 5.

D = 1² - 4 * 2 * 5 = 1 - 40 = -39

Так как D < 0, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: а) 2 корня, б) 0 корней

2. Решите уравнение:

a) x² - 11x - 42 = 0

D = (-11)² - 4 * 1 * (-42) = 121 + 168 = 289

x₁ = (11 + √289) / 2 = (11 + 17) / 2 = 28 / 2 = 14

x₂ = (11 - √289) / 2 = (11 - 17) / 2 = -6 / 2 = -3

б) -2x² - 5x - 2 = 0

D = (-5)² - 4 * (-2) * (-2) = 25 - 16 = 9

x₁ = (5 + √9) / (-4) = (5 + 3) / (-4) = 8 / (-4) = -2

x₂ = (5 - √9) / (-4) = (5 - 3) / (-4) = 2 / (-4) = -0.5

в) x⁴ - 13x² + 36 = 0

Пусть y = x², тогда уравнение примет вид y² - 13y + 36 = 0

D = (-13)² - 4 * 1 * 36 = 169 - 144 = 25

y₁ = (13 + √25) / 2 = (13 + 5) / 2 = 18 / 2 = 9

y₂ = (13 - √25) / 2 = (13 - 5) / 2 = 8 / 2 = 4

Теперь найдем x:

x² = 9 => x₁ = 3, x₂ = -3

x² = 4 => x₃ = 2, x₄ = -2

Ответ: а) x₁ = 14, x₂ = -3; б) x₁ = -2, x₂ = -0.5; в) x₁ = 3, x₂ = -3, x₃ = 2, x₄ = -2

3. Задача про треугольник

Пусть один катет x см, тогда другой (x - 5) см.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:

0. 5 * x * (x - 5) = 42

x(x - 5) = 84

x² - 5x - 84 = 0

D = (-5)² - 4 * 1 * (-84) = 25 + 336 = 361

x₁ = (5 + √361) / 2 = (5 + 19) / 2 = 24 / 2 = 12

x₂ = (5 - √361) / 2 = (5 - 19) / 2 = -14 / 2 = -7 (не подходит, так как длина не может быть отрицательной)

Итак, один катет 12 см, другой 12 - 5 = 7 см.

Ответ: 12 см и 7 см.

4. Решите уравнение

x/(x-2) + 8/(4-x²) - 1/(x+2) = 0

Приведем к общему знаменателю, учитывая, что 4 - x² = -(x - 2)(x + 2):

x(x+2) - 8 - (-(x-2)) / ((x-2)(x+2)) = 0

(x² + 2x - 8 + x - 2) / ((x-2)(x+2)) = 0

(x² + 3x - 10) / ((x-2)(x+2)) = 0

Найдем корни числителя:

x² + 3x - 10 = 0

D = 3² - 4 * 1 * (-10) = 9 + 40 = 49

x₁ = (-3 + √49) / 2 = (-3 + 7) / 2 = 4 / 2 = 2

x₂ = (-3 - √49) / 2 = (-3 - 7) / 2 = -10 / 2 = -5

x = 2 не подходит, так как обращает знаменатель в нуль.

Ответ: x = -5

5. Уравнение с параметром

x² - px + p = 0

Уравнение имеет один корень, когда дискриминант равен нулю:

D = (-p)² - 4 * 1 * p = p² - 4p

p² - 4p = 0

p(p - 4) = 0

p₁ = 0, p₂ = 4

Ответ: p = 0 или p = 4