ВАРИАНТ 14 1. Осевое сечение цилиндра – квадрат, диагональ которого равна 4 см. Найдите площадь сечения цилиндра и площадь боковой поверхности. 2. Радиус основания конуса равен 6 см, а образующая наклонена к плоскости основания под углом 30 . Найдите: а) площадь боковой поверхности конуса, б) площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через две образующие, угол между которыми равен 60°.

Задание 1

Осевое сечение цилиндра - квадрат, диагональ которого равна 4 см. Нужно найти площадь сечения цилиндра и площадь боковой поверхности.

Логика такая:

• Диагональ квадрата связана со стороной квадрата соотношением: \(d = a\sqrt{2}\), где \(d\) - диагональ, \(a\) - сторона.
• Площадь квадрата (осевого сечения) равна квадрату его стороны: \(S = a^2\).
• Площадь боковой поверхности цилиндра: \(S_{бок} = 2\pi Rh = \pi Dh\), где \(R\) - радиус основания, \(h\) - высота цилиндра, \(D\) - диаметр основания.

Разбираемся:

Шаг 1: Найдем сторону квадрата (она же - высота цилиндра):

\[a = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}\]

Шаг 2: Найдем площадь осевого сечения (квадрата):

\[S = a^2 = (2\sqrt{2})^2 = 8 \, \text{см}^2\]

Шаг 3: Найдем радиус основания цилиндра:

\[R = \frac{a}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}\]

Шаг 4: Найдем площадь боковой поверхности цилиндра:

\[S_{бок} = 2\pi Rh = 2\pi \cdot \sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2} = 8\pi \, \text{см}^2\]

Ответ: Площадь сечения цилиндра: \(8 \, \text{см}^2\); Площадь боковой поверхности: \(8\pi \, \text{см}^2\).

Задание 2

Радиус основания конуса равен 6 см, а образующая наклонена к плоскости основания под углом 30°. Нужно найти:

• а) площадь боковой поверхности конуса
• б) площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через две образующие, угол между которыми равен 60°.

Логика такая:

• Площадь боковой поверхности конуса: \(S_{бок} = \pi Rl\), где \(R\) - радиус основания, \(l\) - образующая конуса.
• Площадь сечения конуса (треугольника) равна половине произведения сторон на синус угла между ними: \(S = \frac{1}{2} l^2 \sin{\alpha}\), где \(l\) - образующая, \(\alpha\) - угол между образующими.

Разбираемся:

а) Шаг 1: Найдем образующую конуса. Т.к. образующая наклонена к плоскости основания под углом 30°, то:

\[\cos{30^\circ} = \frac{R}{l} \Rightarrow l = \frac{R}{\cos{30^\circ}} = \frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3} \, \text{см}\]

Шаг 2: Найдем площадь боковой поверхности конуса:

\[S_{бок} = \pi Rl = \pi \cdot 6 \cdot 4\sqrt{3} = 24\sqrt{3}\pi \, \text{см}^2\]

б) Шаг 1: Найдем площадь сечения конуса:

\[S = \frac{1}{2} l^2 \sin{\alpha} = \frac{1}{2} (4\sqrt{3})^2 \sin{60^\circ} = \frac{1}{2} \cdot 48 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 12\sqrt{3} \, \text{см}^2\]

Ответ: а) Площадь боковой поверхности конуса: \(24\sqrt{3}\pi \, \text{см}^2\); б) Площадь сечения конуса: \(12\sqrt{3} \, \text{см}^2\).