Вариант 1 1. Основание прямой треугольной призмы - прямоугольный треугольник с катетами 3 см и 10 см. Высота призмы равна 6 см. Найдите объём призмы. 2. Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, боковое ребро которой равно 16 см и образует с плоскостью основания угол 45°. 3. Найдите объём правильной усечённой треугольной пирамиды, стороны оснований которой равны 6 см и 8 см, а высота - 9 см.

Основание прямой треугольной призмы - прямоугольный треугольник с катетами 3 см и 10 см. Высота призмы равна 6 см. Найдите объём призмы.

Решение:

Объём призмы равен площади основания, умноженной на высоту. Площадь основания (прямоугольного треугольника) равна половине произведения катетов.

$$S_{осн} = \frac{1}{2} * a * b = \frac{1}{2} * 3 * 10 = 15 \text{ см}^2$$

$$V = S_{осн} * h = 15 * 6 = 90 \text{ см}^3$$

Ответ: 90 см³

Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, боковое ребро которой равно 16 см и образует с плоскостью основания угол 45°.

Решение:

Пусть $$a$$ - сторона основания пирамиды, $$h$$ - высота пирамиды, $$b$$ - боковое ребро.

Боковое ребро образует с плоскостью основания угол 45°, следовательно, проекция бокового ребра на плоскость основания равна $$b \cos 45^{\circ}$$. Эта проекция является половиной диагонали квадрата в основании.

$$ \frac{a\sqrt{2}}{2} = b \cos 45^{\circ} = 16 * \frac{\sqrt{2}}{2} = 8\sqrt{2}$$

$$a\sqrt{2} = 16\sqrt{2}$$

$$a = 16 \text{ см}$$

Далее найдем высоту пирамиды. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды, половиной диагонали основания и боковым ребром. Так как угол между боковым ребром и плоскостью основания равен 45°, то высота пирамиды равна половине диагонали основания.

$$h = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{16\sqrt{2}}{2} = 8\sqrt{2} \text{ см}$$

Теперь найдем объем пирамиды по формуле: $$V = \frac{1}{3} S_{осн} h$$, где $$S_{осн} = a^2$$

$$V = \frac{1}{3} * 16^2 * 8\sqrt{2} = \frac{1}{3} * 256 * 8\sqrt{2} = \frac{2048\sqrt{2}}{3} \text{ см}^3$$

Ответ: $$\frac{2048\sqrt{2}}{3}$$ см³

Найдите объём правильной усечённой треугольной пирамиды, стороны оснований которой равны 6 см и 8 см, а высота - 9 см.

Решение:

Объем правильной усеченной пирамиды находится по формуле:

$$V = \frac{1}{3}h(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1S_2})$$

Где $$h$$ - высота усеченной пирамиды, $$S_1$$ и $$S_2$$ - площади верхнего и нижнего оснований.

Так как основания - правильные треугольники, то их площади равны:

$$S_1 = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{6^2\sqrt{3}}{4} = \frac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3} \text{ см}^2$$

$$S_2 = \frac{b^2\sqrt{3}}{4} = \frac{8^2\sqrt{3}}{4} = \frac{64\sqrt{3}}{4} = 16\sqrt{3} \text{ см}^2$$

Подставляем значения в формулу объема:

$$V = \frac{1}{3} * 9 * (9\sqrt{3} + 16\sqrt{3} + \sqrt{9\sqrt{3} * 16\sqrt{3}}) = 3 * (25\sqrt{3} + \sqrt{144 * 3}) = 3 * (25\sqrt{3} + 12\sqrt{3}) = 3 * 37\sqrt{3} = 111\sqrt{3} \text{ см}^3$$

Ответ: $$111\sqrt{3}$$ см³