Вариант 1 1. Отрезок АМ является перпендикуляром к плоскости прямоугольника ABCD. Угол между прямой МС и этой плоскостью равен 300, AD=√2, CD=2. а) Найти АМ. б) Найти угол между прямыми МС и AD. 2. В ромбе ABCD AB = 10 см, угол BAD = 450, ВЕ - перпендикуляр к плоскости АВС. ВН - высота ромба. Угол между прямой ЕН и плоскостью АВС равен 600. а) Найдите расстояние от точки Е до плоскости ABC. 6) √6 tg(AE^(ABC)).

Решение:

1.

а) Отрезок АМ является перпендикуляром к плоскости прямоугольника ABCD. Угол между прямой МС и этой плоскостью равен 30°, AD=√2, CD=2. Найти АМ.

Рассмотрим прямоугольник ABCD. Пусть АМ – перпендикуляр к плоскости ABCD. Значит, АМ перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе АС.

Угол между прямой МС и плоскостью ABCD – это угол между прямой МС и ее проекцией на эту плоскость, то есть угол MCA = 30°.

Рассмотрим треугольник ADC: DC = 2, AD = √2. По теореме Пифагора:

$$AC = \sqrt{AD^2 + DC^2} = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + 2^2} = \sqrt{2 + 4} = \sqrt{6}$$

Рассмотрим треугольник AMC: угол MAC = 90°, угол MCA = 30°.

Тогда:

$$tg(30^\circ) = \frac{AM}{AC}$$ $$AM = AC \cdot tg(30^\circ) = \sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{18}}{3} = \frac{3\sqrt{2}}{3} = \sqrt{2}$$

б) Найти угол между прямыми МС и AD.

Прямая AD параллельна прямой BC, значит, угол между прямыми МС и AD равен углу между прямыми МС и ВС.

Рассмотрим треугольник MBC. MB перпендикулярна плоскости ABCD, значит, MB перпендикулярна BC. То есть треугольник MBC – прямоугольный.

MB = AM = √2 (так как AM – перпендикуляр к плоскости ABCD).

BC = AD = √2 (так как ABCD – прямоугольник).

Тогда треугольник MBC – прямоугольный и равнобедренный, значит, угол MCB = 45°.

Ответ: а) $$AM = \sqrt{2}$$; б) угол между прямыми МС и AD равен 45°.

2.

В ромбе ABCD AB = 10 см, угол BAD = 45°, ВЕ - перпендикуляр к плоскости АВС. ВН - высота ромба. Угол между прямой ЕН и плоскостью АВС равен 60°.

а) Найдите расстояние от точки Е до плоскости ABC.

В ромбе ABCD сторона AB = 10 см, угол BAD = 45°. BE – перпендикуляр к плоскости ABC, BH – высота ромба. Угол между прямой EH и плоскостью ABC равен 60°.

Расстояние от точки E до плоскости ABC – это длина перпендикуляра, опущенного из точки E на эту плоскость, то есть длина отрезка BE.

Рассмотрим ромб ABCD. Так как угол BAD = 45°, то угол ABC = 180° - 45° = 135°.

BH – высота ромба, проведенная к стороне AD. В ромбе высота, проведенная из вершины тупого угла, является также биссектрисой этого угла.

Тогда угол ABH = 135°/2 = 67,5°.

Рассмотрим треугольник ABH: угол AHB = 90°, угол ABH = 67,5°.

Тогда:

$$sin(67.5^\circ) = \frac{AH}{AB}$$

AH = AB * sin(67.5°) = 10 * sin(67.5°)

Пусть угол между прямой EH и плоскостью ABC равен 60°. Это угол между прямой EH и ее проекцией на плоскость ABC, то есть угол EHB = 60°.

Рассмотрим треугольник EHB: угол EBH = 90°, угол EHB = 60°.

Тогда:

$$tg(60^\circ) = \frac{BE}{BH}$$

BE = BH * tg(60°) = BH * √3

Чтобы найти BH, рассмотрим треугольник ABH: угол AHB = 90°, угол ABH = 67,5°.

Тогда:

$$cos(67.5^\circ) = \frac{BH}{AB}$$

BH = AB * cos(67.5°) = 10 * cos(67.5°)

BE = 10 * cos(67.5°) * √3

б) √6 tg(AE^(ABC)).

Ответ: а) Расстояние от точки Е до плоскости ABC = 10 × cos(67,5°) × √3.