Вариант 1 1. Отрезок АМ является перпендикуляром к плоскости прямоугольника ABCD. Угол между прямой МС и этой плоскостью равен 300, AD=√2, CD=2. а) Найти АМ. б) Найти угол между прямыми МС и AD. 2. В ромбе ABCD AB = 10 см, угол BAD = 450, ВЕ - перпендикуляр к плоскости АВС. ВН - высота ромба. Угол между прямой ЕН и плоскостью АВС равен 600. а) Найдите расстояние от точки Е до плоскости ABC. 6) √6 tg(AE^(ABC)).

1. Отрезок АМ является перпендикуляром к плоскости прямоугольника ABCD. Угол между прямой МС и этой плоскостью равен 30°. AD=√2, CD=2.

а) Найти АМ.

Для решения задачи необходимо рассмотреть прямоугольный треугольник AMC, где угол MCA равен 30° (угол между прямой MC и плоскостью ABCD). Так как AM перпендикулярна плоскости, то AM является катетом, противолежащим углу MCA, а MC - гипотенузой.

Известно, что AD = √2 и CD = 2.

Используем тангенс угла MCA:

$$tg(30°) = \frac{AM}{AC}$$

Найдем AC по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника ADC:

$$AC^2 = AD^2 + DC^2 = (√2)^2 + 2^2 = 2 + 4 = 6$$ $$AC = \sqrt{6}$$

Теперь подставим в формулу тангенса:

$$tg(30°) = \frac{AM}{\sqrt{6}}$$

Тангенс 30° равен $$ \frac{\sqrt{3}}{3}$$, поэтому:

$$\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{AM}{\sqrt{6}}$$ $$AM = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{6}}{3} = \frac{\sqrt{18}}{3} = \frac{3\sqrt{2}}{3} = \sqrt{2}$$

Ответ: $$AM = \sqrt{2}$$

б) Найти угол между прямыми МС и AD.

Так как ABCD - прямоугольник, то AD || BC. Следовательно, угол между прямыми MC и AD равен углу между MC и BC.

Рассмотрим треугольник MBC. MB перпендикулярна плоскости ABCD, значит, MB перпендикулярна BC. Таким образом, треугольник MBC - прямоугольный с прямым углом MBC.

Известно, что BC = AD = √2.

Чтобы найти угол между MC и BC, можно использовать тангенс угла MCB:

$$tg(MCB) = \frac{MB}{BC}$$

Из прямоугольного треугольника AMB (угол MAB = 90°):

$$MB^2 = AB^2 - AM^2$$ $$MB^2 = CD^2 - AM^2 = 2^2 - (\sqrt{2})^2 = 4 - 2 = 2$$ $$MB = \sqrt{2}$$

Подставим в формулу тангенса:

$$tg(MCB) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 1$$

Угол, тангенс которого равен 1, равен 45°.

Ответ: Угол между прямыми MC и AD равен 45°.

2. В ромбе ABCD AB = 10 см, угол BAD = 45°, ВЕ - перпендикуляр к плоскости АВС. ВН - высота ромба. Угол между прямой ЕН и плоскостью АВС равен 60°.

а) Найдите расстояние от точки Е до плоскости ABC.

Так как BE перпендикулярна плоскости ABC, то расстояние от точки E до плоскости ABC - это длина отрезка BE.

Рассмотрим прямоугольный треугольник BEH, где угол EHB = 60° (угол между прямой EH и плоскостью ABC).

$$tg(EHB) = \frac{BE}{BH}$$

BH - высота ромба. В ромбе высота, проведенная к стороне, может быть найдена, как:

$$BH = AB \cdot sin(BAD)$$ $$BH = 10 \cdot sin(45°) = 10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2}$$

Подставим в формулу тангенса:

$$tg(60°) = \frac{BE}{5\sqrt{2}}$$

Тангенс 60° равен $$ \sqrt{3}$$, поэтому:

$$\sqrt{3} = \frac{BE}{5\sqrt{2}}$$ $$BE = 5\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = 5\sqrt{6}$$

Ответ: Расстояние от точки E до плоскости ABC равно $$5\sqrt{6}$$ см.

6) √6 tg(AE^(ABC)).

Нужно найти значение выражения $$ \sqrt{6} \cdot tg(∠(AE, ABC)) $$. Для этого нужно найти угол между прямой АЕ и плоскостью АВС.

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВЕ. Найдем АЕ по теореме Пифагора:

$$AE^2 = AB^2 + BE^2 = 10^2 + (5\sqrt{6})^2 = 100 + 25 \cdot 6 = 100 + 150 = 250$$ $$AE = \sqrt{250} = 5\sqrt{10}$$

Угол между прямой AE и плоскостью ABC - это угол между AE и AB (так как AB лежит в плоскости ABC).

$$sin(∠(AE, ABC)) = \frac{BE}{AE} = \frac{5\sqrt{6}}{5\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{10}} = \sqrt{\frac{6}{10}} = \sqrt{\frac{3}{5}}$$ $$∠(AE, ABC) = arcsin(\sqrt{\frac{3}{5}})$$

Найдем тангенс этого угла:

$$tg(∠(AE, ABC)) = \frac{sin(∠(AE, ABC))}{cos(∠(AE, ABC))}$$ $$cos(∠(AE, ABC)) = \sqrt{1 - sin^2(∠(AE, ABC))} = \sqrt{1 - \frac{3}{5}} = \sqrt{\frac{2}{5}}$$ $$tg(∠(AE, ABC)) = \frac{\sqrt{\frac{3}{5}}}{\sqrt{\frac{2}{5}}} = \sqrt{\frac{3}{2}}$$

Подставим найденный тангенс в исходное выражение:

$$\sqrt{6} \cdot tg(∠(AE, ABC)) = \sqrt{6} \cdot \sqrt{\frac{3}{2}} = \sqrt{6 \cdot \frac{3}{2}} = \sqrt{9} = 3$$

Ответ: √6 tg(AE^(ABC)) = 3