Вариант 1 1. Отрезок КА перпендикуляр к плоскости треугольника АВС. Точка М - середина стороны ВС, КМ І ВС. а) Докажите, что треугольник АВС - равнобедренный. 6) Докажите перпендикулярность плоскостей (КВС) и (КАМ). в) Найдите площадь треугольника АВС, если ∠BKC = 60°, ВС = 6 см, КА = 3√2 см. 2. Точка S удалена от каждой из вершин правильного тре- угольника АВС на 13 см. Найдите двугранный угол SABC, если АВ = 6 см. 3. Прямая АВ — ребро двугранного угла, равного 90°. Прямые АА И ВВ, принадлежат разным граням данного угла и перпен- дикулярны к прямой АВ. Докажите, что AA, I BB₁. Вариант 2 1. Отрезок КА — перпендикуляр к плоскости параллелограм- ма ABCD. Точка О - точка пересечения АС и BD, KO 1 BD. а) Докажите, что ABCD - ромб. 6) Докажите перпендикулярность плоскостей (KBD) и (КОА). в) Найдите площадь ABCD, если ∠BKD = 90°, BD = 10 см, КА = 3 см. 2. Точка 5 удалена от каждой из вершин правильного тре- угольника АВС на √39 см. Найдите угол между прямой SA и пло- скостью (АВС), если АВ = 6 см. 3. Прямые АА и ВВ - перпендикулярны к ребру АВ дву- гранного угла, принадлежащие разным граням угла. Докажите, что если прямые АА 1 ВВ₁, то данный двугранный угол прямой. III уровень сложности Ran

1. Докажем, что треугольник ABC - равнобедренный.

   Так как KM ⊥ BC и M - середина BC, то KM является высотой и медианой треугольника KBC. Следовательно, треугольник KBC равнобедренный, и KB = KC.

   Рассмотрим прямоугольные треугольники KBA и KCA (KA ⊥ плоскости ABC, значит KA ⊥ BA и KA ⊥ CA). У них KA - общий катет, KB = KC (доказано выше). Следовательно, треугольники KBA и KCA равны по гипотенузе и катету. Значит, BA = CA, и треугольник ABC равнобедренный.

2. Докажем перпендикулярность плоскостей (KBC) и (KAM).

   Так как KM ⊥ BC и AM - медиана равнобедренного треугольника ABC, проведенная к основанию BC, то AM также является высотой. Следовательно, AM ⊥ BC.

   Так как KA ⊥ плоскости ABC, то KA ⊥ BC. BC перпендикулярна двум пересекающимся прямым KM и AM плоскости KAM. Следовательно, BC ⊥ плоскости KAM.

   Так как BC лежит в плоскости KBC, то плоскости KBC и KAM перпендикулярны.

3. Найдем площадь треугольника ABC, если ∠BKC = 60°, BC = 6 см, KA = 3√2 см.

   Так как треугольник KBC равнобедренный и ∠BKC = 60°, то треугольник KBC равносторонний. Следовательно, KB = KC = BC = 6 см.

   Рассмотрим прямоугольный треугольник KBA. По теореме Пифагора, BA = √(KB² - KA²) = √(6² - (3√2)²) = √(36 - 18) = √18 = 3√2 см.

   Так как треугольник ABC равнобедренный (BA = CA), то CA = 3√2 см.

   Так как AM - высота и медиана треугольника ABC, то BM = MC = BC / 2 = 6 / 2 = 3 см.

   Рассмотрим прямоугольный треугольник ABM. По теореме Пифагора, AM = √(BA² - BM²) = √((3√2)² - 3²) = √(18 - 9) = √9 = 3 см.

   Площадь треугольника ABC равна (1/2) * BC * AM = (1/2) * 6 * 3 = 9 см².

Пусть O – центр треугольника ABC. Так как SA = SB = SC = √13, то SO ⊥ (ABC).

AO = (2/3) * AM, где AM – высота треугольника ABC. AM = AB * sin(60°) = 6 * (√3/2) = 3√3 см.

AO = (2/3) * 3√3 = 2√3 см.

Из прямоугольного треугольника SOA: SO = √(SA² - AO²) = √((√13)² - (2√3)²) = √(13 - 12) = 1 см.

Проведем MD ⊥ BC. Тогда SD ⊥ BC (по теореме о трех перпендикулярах). Значит, ∠SDM – линейный угол двугранного угла SABC.

DM = (1/3) * AM = (1/3) * 3√3 = √3 см.

Из прямоугольного треугольника SOD: tg(∠SDM) = SO / DM = 1 / √3 = √3 / 3. Следовательно, ∠SDM = 30°.

Так как двугранный угол равен 90°, а AA₁ и BB₁ перпендикулярны AB и принадлежат разным граням, то AA₁ и BB₁ лежат в плоскостях, перпендикулярных AB. Следовательно, угол между AA₁ и BB₁ равен 90°, то есть AA₁ ⊥ BB₁.

1. Докажем, что ABCD - ромб.

   Так как KA перпендикулярен плоскости ABCD, то AO ⊥ BD (по теореме о трех перпендикулярах). Так как диагонали параллелограмма ABCD пересекаются под прямым углом, то ABCD - ромб.

2. Докажем перпендикулярность плоскостей (KBD) и (KOA).

   Так как ABCD - ромб, то AO ⊥ BD. Также, KO ⊥ BD (по условию). Значит, BD ⊥ плоскости KOA, так как BD перпендикулярна двум пересекающимся прямым AO и KO в этой плоскости. Так как BD лежит в плоскости KBD, то плоскости KBD и KOA перпендикулярны.

3. Найдем площадь ABCD, если ∠BKD = 90°, BD = 10 см, KA = 3 см.

   Так как ABCD - ромб, то BO = OD = BD / 2 = 10 / 2 = 5 см.

   Рассмотрим прямоугольный треугольник KBO. По теореме Пифагора, KB = √(KO² + BO²).

   Рассмотрим прямоугольный треугольник KAO. По теореме Пифагора, KO = √(KA² + AO²).

   Так как ∠BKD = 90°, то треугольник BKD - прямоугольный. Следовательно, BK² + KD² = BD².

   Так как ABCD - ромб, то BK = DK. Значит, 2BK² = BD², и BK = BD / √2 = 10 / √2 = 5√2 см.

   Тогда (5√2)² = KO² + 5², и KO² = 50 - 25 = 25. Следовательно, KO = 5 см.

   Тогда 5² = 3² + AO², и AO² = 25 - 9 = 16. Следовательно, AO = 4 см.

   Так как диагонали ромба AC = 2 * AO = 2 * 4 = 8 см и BD = 10 см, то площадь ромба ABCD равна (1/2) * AC * BD = (1/2) * 8 * 10 = 40 см².

Пусть O — центр треугольника ABC. Тогда SA = SB = SC = √39, значит, SO ⊥ (ABC).

AO = (2/3) * AM, где AM — высота треугольника ABC. AM = AB * sin(60°) = 6 * (√3/2) = 3√3 см.

AO = (2/3) * 3√3 = 2√3 см.

Из прямоугольного треугольника SOA: SO = √(SA² - AO²) = √((√39)² - (2√3)²) = √(39 - 12) = √27 = 3√3 см.

Угол между прямой SA и плоскостью (ABC) — это угол ∠SAO. tg(∠SAO) = SO / AO = (3√3) / (2√3) = 3/2.

∠SAO = arctg(3/2) ≈ 56.31°.

Так как AA₁ ⊥ AB и BB₁ ⊥ AB, и AA₁ ⊥ BB₁, то AA₁ и BB₁ лежат в плоскостях, перпендикулярных AB. Значит, угол между этими плоскостями, который и есть двугранный угол, равен 90°.