Вариант 3 1. Периметр ДАВС равен 75 см, АВ=30см, АС-20см. Какой угол треугольника наименьший? 2. Две стороны равнобедренного треугольника равна 9 см и 4 см. Найдите третью сторону треугольника. 3. В прямоугольном AACD длина катета CD в два раза меньше длины гипотенузы АС. Отрезок CF биссектриса этого треугольника. градусную меру CFD. Вычислите 4.В прямоугольном ДАВС С=90°, биссектриса АК равна 12 см. Расстояние от точки К до прямой АВ равно 6 см. Найдите угол АКВ. 5. В ДАВС биссектрисы углов А и С пересекаются в точке О, В=68°. Найдите АОС.

Логика такая: Наименьший угол лежит напротив наименьшей стороны. Сначала найдем длину третьей стороны \(BC\), затем определим наименьшую сторону и угол, лежащий напротив неё.

• Шаг 1: Находим длину стороны \(BC\).

• Шаг 2: Сравниваем длины сторон.

Стороны треугольника: \(AB = 30\) см, \(AC = 20\) см, \(BC = 25\) см. Наименьшая сторона - \(AC = 20\) см.

• Шаг 3: Определяем наименьший угол.

Наименьший угол лежит напротив наименьшей стороны \(AC\), то есть это угол \(\angle B\).

Ответ: Наименьший угол - \(\angle B\).

Разбираемся: В равнобедренном треугольнике две стороны равны. Рассмотрим два случая:

• Случай 1: Боковые стороны равны 9 см, тогда третья сторона равна 4 см. Проверим неравенство треугольника:

\(9 + 9 > 4\), \(9 + 4 > 9\) – выполняется.

• Случай 2: Боковые стороны равны 4 см, тогда третья сторона равна 9 см. Проверим неравенство треугольника:

\(4 + 4 < 9\) – не выполняется. Значит, такой треугольник не существует.

Следовательно, третья сторона равна 9 см.

Ответ: Третья сторона равна 9 см.

Логика такая: Используем свойства прямоугольного треугольника и биссектрисы, чтобы найти угол \(\angle CFD\).

• Шаг 1: Определяем углы треугольника \(\triangle ACD\).

Так как \(CD = \frac{1}{2} AC\), то \(\angle CAD = 30^\circ\) (катет, лежащий против угла в \(30^\circ\) равен половине гипотенузы).

Тогда \(\angle ACD = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ\).

• Шаг 2: Находим угол \(\angle DCF\).

Так как \(CF\) - биссектриса, то \(\angle DCF = \frac{1}{2} \angle ACD = \frac{1}{2} \cdot 60^\circ = 30^\circ\).

• Шаг 3: Находим угол \(\angle CFD\).

В треугольнике \(\triangle CDF\): \(\angle CFD = 180^\circ - \angle CDF - \angle DCF = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ\).

Ответ: \(\angle CFD = 60^\circ\).

Разбираемся: Используем свойства биссектрисы и прямоугольного треугольника, чтобы найти угол \(\angle AKB\).

• Шаг 1: Определяем углы треугольника \(\triangle AKB\).

Пусть \(KL\) - перпендикуляр от точки \(K\) к \(AB\). Тогда \(KL = 6\) см.

В прямоугольном треугольнике \(\triangle AKL\): \(\sin \angle KAK = \frac{KL}{AK} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}\). Следовательно, \(\angle KAK = 30^\circ\).

Так как \(AK\) - биссектриса, то \(\angle BAC = 2 \cdot \angle KAK = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ\).

• Шаг 2: Находим угол \(\angle ABC\).

В прямоугольном треугольнике \(\triangle ABC\): \(\angle ABC = 90^\circ - \angle BAC = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ\).

• Шаг 3: Находим угол \(\angle AKB\).

В треугольнике \(\triangle AKB\): \(\angle AKB = 180^\circ - \angle KAB - \angle ABK = 180^\circ - 30^\circ - 30^\circ = 120^\circ\).

Ответ: \(\angle AKB = 120^\circ\).

Логика такая: Используем свойства биссектрис и углов треугольника, чтобы найти угол \(\angle AOC\).

• Шаг 1: Находим сумму углов \(\angle A\) и \(\angle C\).

В треугольнике \(\triangle ABC\): \(\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ\). Следовательно, \(\angle A + \angle C = 180^\circ - \angle B = 180^\circ - 68^\circ = 112^\circ\).

• Шаг 2: Находим сумму половин углов \(\angle A\) и \(\angle C\).

Так как \(AO\) и \(CO\) - биссектрисы, то \(\frac{1}{2} \angle A + \frac{1}{2} \angle C = \frac{1}{2} (\angle A + \angle C) = \frac{1}{2} \cdot 112^\circ = 56^\circ\).

• Шаг 3: Находим угол \(\angle AOC\).

В треугольнике \(\triangle AOC\): \(\angle AOC = 180^\circ - (\frac{1}{2} \angle A + \frac{1}{2} \angle C) = 180^\circ - 56^\circ = 124^\circ\).

Ответ: \(\angle AOC = 124^\circ\).