Вариант 2 1. Первая труба пропускает на 3 литра воды в минуту меньше, чем вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом 260 литров она заполняет на 6 минут дольше, чем вторая труба? 2. Два автомобиля одновременно отправляются в 480-километровый пробег. Первый едет со скоростью, на 20 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 2 ч раньше второго. Найдите скорость первого автомо- биля. 3. Два оператора, работая вместе, могут набрать текст газеты объявлений за 8 ч. Если первый оператор будет работать 3 ч, а второй 12 ч, то они выполнят только 75% всей работы. За какое время может набрать весь текст каждый оператор, работая отдельно?

Решим задачи.

<h3>Решение задачи №1:</h3>

1. Пусть х л/мин - скорость первой трубы, тогда (х + 3) л/мин - скорость второй трубы.

2. Первая труба заполняет резервуар за $$ \frac{260}{x} $$ минут, а вторая за $$ \frac{260}{x+3} $$ минут.

3. По условию первая труба заполняет на 6 минут дольше, чем вторая. Составим уравнение:

   $$ \frac{260}{x} - \frac{260}{x+3} = 6 $$

4. Решим уравнение:

   $$ \frac{260(x+3) - 260x}{x(x+3)} = 6 $$

   $$ \frac{260x + 780 - 260x}{x^2 + 3x} = 6 $$

   $$ \frac{780}{x^2 + 3x} = 6 $$

   $$ 6(x^2 + 3x) = 780 $$

   $$ 6x^2 + 18x - 780 = 0 $$

   $$ x^2 + 3x - 130 = 0 $$

   $$ D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-130) = 9 + 520 = 529 $$

   $$ x_1 = \frac{-3 + \sqrt{529}}{2} = \frac{-3 + 23}{2} = \frac{20}{2} = 10 $$

   $$ x_2 = \frac{-3 - \sqrt{529}}{2} = \frac{-3 - 23}{2} = \frac{-26}{2} = -13 $$ (не подходит, т.к. скорость не может быть отрицательной)

5. Первая труба пропускает 10 литров воды в минуту.

Ответ: 10 л/мин.

<h3>Решение задачи №2:</h3>

1. Пусть x км/ч - скорость второго автомобиля, тогда (x + 20) км/ч - скорость первого автомобиля.

2. Второй автомобиль проехал 480 км за $$ \frac{480}{x} $$ часов, а первый за $$ \frac{480}{x+20} $$ часов.

3. По условию второй автомобиль был в пути на 2 часа дольше, чем первый. Составим уравнение:

   $$ \frac{480}{x} - \frac{480}{x+20} = 2 $$

4. Решим уравнение:

   $$ \frac{480(x+20) - 480x}{x(x+20)} = 2 $$

   $$ \frac{480x + 9600 - 480x}{x^2 + 20x} = 2 $$

   $$ \frac{9600}{x^2 + 20x} = 2 $$

   $$ 2(x^2 + 20x) = 9600 $$

   $$ 2x^2 + 40x - 9600 = 0 $$

   $$ x^2 + 20x - 4800 = 0 $$

   $$ D = 20^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4800) = 400 + 19200 = 19600 $$

   $$ x_1 = \frac{-20 + \sqrt{19600}}{2} = \frac{-20 + 140}{2} = \frac{120}{2} = 60 $$

   $$ x_2 = \frac{-20 - \sqrt{19600}}{2} = \frac{-20 - 140}{2} = \frac{-160}{2} = -80 $$ (не подходит, т.к. скорость не может быть отрицательной)

5. Скорость второго автомобиля 60 км/ч, тогда скорость первого автомобиля 60 + 20 = 80 км/ч.

Ответ: 80 км/ч.

<h3>Решение задачи №3:</h3>

1. Пусть х - время, за которое первый оператор набирает весь текст, у - время, за которое второй оператор набирает весь текст.

2. За 8 часов совместной работы они набирают весь текст. Тогда $$ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{8} $$

3. За 3 часа первый оператор набирает $$ \frac{3}{x} $$ часть текста, а второй за 12 часов набирает $$ \frac{12}{y} $$ часть текста. Вместе они выполняют 75% работы. $$ \frac{3}{x} + \frac{12}{y} = \frac{3}{4} $$

4. Составим систему уравнений:

   $$ \begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{8} \\ \frac{3}{x} + \frac{12}{y} = \frac{3}{4} \end{cases} $$

5. Решим систему уравнений:

   $$ \begin{cases} \frac{1}{x} = \frac{1}{8} - \frac{1}{y} \\ \frac{3}{x} + \frac{12}{y} = \frac{3}{4} \end{cases} $$

   $$ \frac{3}{8} - \frac{3}{y} + \frac{12}{y} = \frac{3}{4} $$

   $$ \frac{9}{y} = \frac{3}{4} - \frac{3}{8} $$

   $$ \frac{9}{y} = \frac{6 - 3}{8} = \frac{3}{8} $$

   $$ y = \frac{9 \cdot 8}{3} = 3 \cdot 8 = 24 $$

   $$ \frac{1}{x} = \frac{1}{8} - \frac{1}{24} = \frac{3 - 1}{24} = \frac{2}{24} = \frac{1}{12} $$

   $$ x = 12 $$

6. Первый оператор может набрать весь текст за 12 часов, а второй за 24 часа.

Ответ: 12 ч и 24 ч.