Вариант 2 1. Площадь параллелограмма равна 40√2 см², а один из углов равен 45°. Найдите его периметр, если длина одной из сторон равна 10 см. 2. В треугольнике CDE CM – биссектриса, ∠DCE = 60°, МЕ = 3√2. Найдите СМ, если ∠CED = 45°. 3. Стороны треугольника равны 6, 9 и 10 см. Найдите угол, лежащий против большей стороны.

1. Площадь параллелограмма

Пусть параллелограмм ABCD, где AB = 10 см, ∠A = 45°. Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, проведённую к этой стороне, то есть $$S = AB \cdot h$$, где $$h$$ – высота, проведённая к стороне AB. Также высота $$h = AD \cdot sinA$$, где AD – вторая сторона параллелограмма. Тогда площадь параллелограмма $$S = AB \cdot AD \cdot sinA$$. Из этой формулы выразим сторону AD: $$AD = \frac{S}{AB \cdot sinA}$$.

• Подставим известные значения: $$AD = \frac{40\sqrt{2}}{10 \cdot sin45°} = \frac{40\sqrt{2}}{10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{40\sqrt{2} \cdot 2}{10 \cdot \sqrt{2}} = \frac{80\sqrt{2}}{10\sqrt{2}} = 8$$ см.
• Периметр параллелограмма равен сумме длин всех его сторон: $$P = 2(AB + AD) = 2(10 + 8) = 2 \cdot 18 = 36$$ см.

Ответ: 36 см.

2. Треугольник CDE

В треугольнике CDE CM - биссектриса угла DCE, ∠DCE = 60°, ME = 3√2, ∠CED = 45°. Надо найти CM. Рассмотрим треугольник CME. ∠MCE = ∠DCE/2 = 60°/2 = 30°. Из теоремы синусов: $$\frac{ME}{sin∠MCE} = \frac{CM}{sin∠CEM}$$, где ∠CEM = ∠CED = 45°.

• Выразим CM: $$CM = \frac{ME \cdot sin∠CEM}{sin∠MCE} = \frac{3\sqrt{2} \cdot sin45°}{sin30°} = \frac{3\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}} = \frac{3\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \cdot 2}{2} = 3 \cdot 2 = 6$$.

Ответ: 6.

3. Стороны треугольника

Пусть стороны треугольника a = 6 см, b = 9 см, c = 10 см. Надо найти угол, лежащий против большей стороны, то есть угол С. По теореме косинусов: $$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot cosC$$. Выразим косинус угла С: $$cosC = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{6^2 + 9^2 - 10^2}{2 \cdot 6 \cdot 9} = \frac{36 + 81 - 100}{108} = \frac{17}{108} ≈ 0.1574$$. Тогда угол С = arccos(0.1574) ≈ 80.95°.

Ответ: arccos(17/108) ≈ 80.95°.