Вариант 3 1. Площадь параллелограмма равна 90 см². Найдите высоту ВН, если сторона AD равна 12 см. 2.В прямоугольной трапеции ABCD боковая сторона АВ=10 см, большее основание AD=18 см, D=45°. Найдите площадь этой трапеции. 3. Диагональ АС прямоугольной трапеции ABCD перпендикуляр на боковой стороне CD и составляет угол в 60° с основанием AD. Найдите площадь трапеции, если AD = 24 см. 4. Длина гипотенузы равнобедренного прямоугольного треугольника равна 42 см. Вычислите его площадь. 5. Сторона прямоугольника равна 12см и образует с его диагональю угол 30°. Найдите неизвестную сторону прямоугольника.

1. Площадь параллелограмма

• Площадь параллелограмма вычисляется по формуле: S = a * h, где a - сторона, h - высота, проведенная к этой стороне.
• Дано: S = 90 см², a = 12 см.
• Найти: h.

\[ h = \frac{S}{a} = \frac{90}{12} = 7.5 \text{ см} \]

Ответ: 7.5 см

2. Площадь прямоугольной трапеции

• Площадь трапеции вычисляется по формуле: S = ((a + b) / 2) * h, где a и b - основания, h - высота.
• В прямоугольной трапеции ABCD, AB = 10 см, AD = 18 см, угол D = 45°.
• Высота трапеции равна боковой стороне AB: h = 10 см.
• Меньшее основание BC можно найти, учитывая, что разность оснований равна высоте, умноженной на тангенс угла D: AD - BC = h * tg(D).

\[ AD - BC = h \cdot \tan(D) \] \[ 18 - BC = 10 \cdot \tan(45^\circ) \] \[ 18 - BC = 10 \cdot 1 \] \[ BC = 18 - 10 = 8 \text{ см} \]

Теперь найдем площадь трапеции:

\[ S = \frac{(AD + BC)}{2} \cdot h = \frac{(18 + 8)}{2} \cdot 10 = \frac{26}{2} \cdot 10 = 13 \cdot 10 = 125 \text{ см}^2 \]

Ответ: 125 см²

3. Площадь прямоугольной трапеции с углом 60°

• В прямоугольной трапеции ABCD, диагональ AC перпендикулярна боковой стороне CD и составляет угол 60° с основанием AD. AD = 24 см.
• Рассмотрим прямоугольный треугольник ACD. Угол CAD = 60°, следовательно, угол ACD = 30°.
• CD = AD * tg(60°) = 24 * √3.
• Так как AC перпендикулярна CD, а угол CAD = 60°, то угол BAC = 30°.
• Высота трапеции равна CD.
• Найдем BC: BC = AD - CD / tg(60°) = AD - CD / √3.

\[ CD = AD \cdot \tan(60^\circ) = 24 \cdot \sqrt{3} \text{ см} \]

Так как угол CAD = 60°, то угол BCA = 30°.

\[ BC = \frac{CD}{\tan(30^\circ)} = \frac{24\sqrt{3}}{\sqrt{3}/3} = 24 \text{ см} \] \[ S = \frac{AD + BC}{2} \cdot CD = \frac{24 + 0}{2} \cdot 24\sqrt{3} = 12 \cdot 24\sqrt{3} = 288\sqrt{3} \text{ см}^2 \]

Ответ: 288√3 см²

4. Площадь равнобедренного прямоугольного треугольника

• Длина гипотенузы равнобедренного прямоугольного треугольника равна 42 см.
• В равнобедренном прямоугольном треугольнике катеты равны, и их можно найти по теореме Пифагора: a² + a² = c², где c - гипотенуза.

\[ 2a^2 = c^2 \] \[ 2a^2 = 42^2 \] \[ a^2 = \frac{42^2}{2} = \frac{1764}{2} = 882 \] \[ a = \sqrt{882} = 21 \sqrt{2} \text{ см} \]

Площадь треугольника:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot a^2 = \frac{1}{2} \cdot 882 = 441 \text{ см}^2 \]

Ответ: 441 см²

5. Неизвестная сторона прямоугольника

• Сторона прямоугольника равна 12 см и образует с его диагональю угол 30°.
• Пусть дан прямоугольник со сторонами a = 12 см и b. Диагональ образует угол 30° со стороной a.
• Тогда tg(30°) = b / a.

\[ \tan(30^\circ) = \frac{b}{a} \] \[ \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{b}{12} \] \[ b = \frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3} \text{ см} \]

Ответ: 4√3 см