Вариант 11 1. Плоскости а и в пересекаются по прямой 1. Прямая а параллельна прямой 1 и явля- ется скрещивающейся с прямой в. Опре- делите, могут ли прямые а и вb: а) лежать в одной из данных плоскостей; б) лежать в разных плоскостях а и в; в) пересекать плоскости а и В. В случае ут- вердительного ответа укажите взаимное расположение прямых а и в. 2. Плоскость а пересекает стороны АВ и ВС треугольника АВС в точках Ми № соот- ветственно, причем AM: MB=3:4, CN:BC=3:7. а) Докажите, что АС || а. б) Найдите АС, если MN = 16 см. 3. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоско- сти. Найдите угол между прямыми АС и BD, если АС = 6 см, BD = 8 см, а расстояние ме жду серединами отрезков AD и ВС равно 5 см.

1. Рассмотрим возможные случаи взаимного расположения прямых a и b, учитывая, что плоскости α и β пересекаются по прямой l, прямая a параллельна прямой l, а прямая a скрещивается с прямой b.

а) Прямые a и b могут лежать в одной из данных плоскостей (α или β). Если a лежит в плоскости α и b лежит в плоскости α, то они могут быть параллельными, пересекающимися или скрещивающимися. Если a лежит в плоскости α и b лежит в плоскости β, то они могут быть скрещивающимися.

б) Прямые a и b могут лежать в разных плоскостях α и β. В этом случае они могут быть скрещивающимися.

в) Прямые a и b могут пересекать плоскости α и β. Если прямая a пересекает плоскость β, а прямая b пересекает плоскость α, то они могут быть скрещивающимися.

В случае утвердительного ответа (прямые a и b лежат в одной плоскости):

Если прямые a и b лежат в одной плоскости, то они могут быть параллельными, пересекающимися или совпадать. Поскольку a и b скрещиваются, то этот случай невозможен.

2. Дано: Плоскость α пересекает стороны AB и BC треугольника ABC в точках M и N соответственно, AM:MB = 3:4, CN:BC = 3:7.

а) Докажем, что AC || α.

Рассмотрим треугольник ABC. Поскольку плоскость α пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно, можно предположить, что MN || AC. Для этого нужно доказать, что выполняется теорема Фалеса.

AM/MB = 3/4, значит, AM/AB = 3/(3+4) = 3/7.

CN/BC = 3/7.

Таким образом, AM/AB = CN/BC = 3/7.

Следовательно, MN || AC (по теореме Фалеса).

Поскольку MN лежит в плоскости α и MN || AC, то AC || α.

б) Найдем AC, если MN = 16 см.

Из подобия треугольников ABC и MBN следует, что MN/AC = BM/BA = (4/7).

Тогда AC = (7/4) * MN = (7/4) * 16 = 28 см.

3. Дано: Точки A, B, C и D не лежат в одной плоскости. AC = 6 см, BD = 8 см, расстояние между серединами отрезков AD и BC равно 5 см. Найти угол между прямыми AC и BD.

Пусть K и L – середины отрезков AD и BC соответственно. Тогда KL = 5 см.

Построим параллелограмм ADEC. Тогда EC || AD и EC = AD.

Рассмотрим треугольник BEC. В нем L – середина BC, а M – середина EC (так как EC = AD и K – середина AD, следовательно, MK || AC и MK = 1/2 AC).

Тогда LM – средняя линия треугольника BEC, и LM || BE и LM = 1/2 BE.

Аналогично, в треугольнике ABD: KN – средняя линия и KN = 1/2 BD.

Рассмотрим четырехугольник KLMN. В нем KL = 5 см, LM = 1/2 BE, KN = 1/2 BD.

Найдем BE.

AC = 6 см, BD = 8 см, KL = 5 см.

Пусть угол между AC и BD равен φ.

Примем, что угол φ = 90 градусов.

Пусть AC и BD – взаимно перпендикулярны. Тогда векторное произведение AC и BD равно площади параллелограмма, построенного на этих векторах.

Ответ:

• 1. а) Да, могут; б) Да, могут; в) Да, могут.


• 2. а) Доказано, что AC || α; б) AC = 28 см.


• 3. Угол между прямыми AC и BD не определен однозначно, недостаточно данных.