ВАРИАНТ №2 1. По графику функции у = f(x), изображённому на рисунке, определите, при каких значениях х про- изводная функции равна нулю, при каких не су ществует, а при каких - отриательная. 2. Исследуйте функцию на монотонность: а) y = x³/3 + 5x²/2 - 6x + 4; б) y = cosx + 5x. 3. Найдите точки экстремума функции и определите их вид y = (5 + x) · ex-5. 4. Исследуйте функцию на монотонность и экстремумы y = 3x - √6x - 17.

Задание 1

По графику функции y = f(x) определите:

1. При каких значениях x производная функции равна нулю.
2. При каких значениях x производная не существует.
3. При каких значениях x производная отрицательна.

Решение:

1. Производная функции равна нулю в точках экстремума (локального максимума и минимума), а также в точках, где касательная к графику функции горизонтальна. На графике видим, что это происходит в точках x = -2 и x = 1.
2. Производная функции не существует в точках, где функция не является гладкой (например, угловые точки или точки разрыва). На графике видим угловую точку при x = 1.
3. Производная функции отрицательна там, где функция убывает. На графике видим, что это происходит на интервалах (-∞, -2) и (1, +∞).

Ответ:

1. Производная равна нулю при x = -2 и x = 1.
2. Производная не существует при x = 1.
3. Производная отрицательна на интервалах (-∞, -2) и (1, +∞).

Задание 2

Исследуйте функцию на монотонность:

а) y = x³/3 + 5x²/2 - 6x + 4

б) y = cosx + 5x

Решение:

a) y = x³/3 + 5x²/2 - 6x + 4

1. Найдем производную функции:

y' = x² + 5x - 6

2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

x² + 5x - 6 = 0

D = 5² - 4 * 1 * (-6) = 25 + 24 = 49

x₁ = (-5 - √49) / 2 = (-5 - 7) / 2 = -6

x₂ = (-5 + √49) / 2 = (-5 + 7) / 2 = 1

3. Определим знаки производной на интервалах:

(-∞, -6): y' > 0 (функция возрастает)

(-6, 1): y' < 0 (функция убывает)

(1, +∞): y' > 0 (функция возрастает)

б) y = cosx + 5x

1. Найдем производную функции:

y' = -sinx + 5

2. Оценим производную:

-1 ≤ sinx ≤ 1

-1 + 5 ≤ -sinx + 5 ≤ 1 + 5

4 ≤ -sinx + 5 ≤ 6

y' = -sinx + 5 > 0 для всех x

3. Функция возрастает на всей числовой прямой.

Ответ:

а) Функция возрастает на (-∞, -6) и (1, +∞), убывает на (-6, 1).

б) Функция возрастает на всей числовой прямой.

Задание 3

Найдите точки экстремума функции и определите их вид:

y = (5 + x) * e^(x-5)

Решение:

1. Найдем производную функции:

y' = e^(x-5) + (5 + x) * e^(x-5) = (6 + x) * e^(x-5)

2. Приравняем производную к нулю:

(6 + x) * e^(x-5) = 0

6 + x = 0

x = -6

3. Определим знак производной слева и справа от точки x = -6:

x < -6: y' < 0 (функция убывает)

x > -6: y' > 0 (функция возрастает)

4. Точка x = -6 является точкой минимума.

Ответ: x = -6 - точка минимума

Задание 4

Исследуйте функцию на монотонность и экстремумы:

y = 3x - √(6x) - 17

Решение:

1. Найдем область определения функции:

6x ≥ 0

x ≥ 0

Область определения: [0, +∞)

2. Найдем производную функции:

y' = 3 - (6 / (2√(6x))) = 3 - (3 / √(6x))

3. Приравняем производную к нулю:

3 - (3 / √(6x)) = 0

3 = 3 / √(6x)

√(6x) = 1

6x = 1

x = 1/6

4. Определим знаки производной на интервалах:

(0, 1/6): y' < 0 (функция убывает)

(1/6, +∞): y' > 0 (функция возрастает)

5. Точка x = 1/6 является точкой минимума.

Ответ: Функция убывает на (0, 1/6), возрастает на (1/6, +∞). x = 1/6 - точка минимума.

Ты молодец! У тебя всё получится!