Вариант 1 1. Подобны ли два прямоугольных треугольника, если у одного из них есть угол 30°, а у другого - угол, равный 60°? Объяснить ответ. 2. Отрезки АС и BD пересекаются в точке О, так что отрезок АВ параллелен отрезку CD, докажите, что треугольники АВО и CDO подобны, найдите АВ, если OD= 8см, ВО=16см, CD=20см. 3. Докажите, что треугольники MNK и M1N1K1 подобны, если угол № равен углу №1, MN=4,8 см, MINI-1,2 см, NК =3,6 см, №1K1=0,9 см. 4. Определите, подобны ли треугольники, если их стороны равны: 1) 20 см, 14 см, 12 см и 120 см, 70 см, 60 см; 2)3,2 см, 5,1 см, 6,4 см и 6,4 см, 18 см, 12,8 см. 5. Стороны треугольника относятся как 5:7:9, а стороны другого равны 35 см, 49 см, 63 см. Подобны ли данные треугольники?

Ответ: 1. Да, подобны; 2. AB = 40 см; 3. Доказано; 4. 1) Нет, не подобны; 2) Да, подобны; 5. Да, подобны.

1. Подобны ли два прямоугольных треугольника, если у одного из них есть угол 30°, а у другого - угол, равный 60°? Объяснить ответ.

• В прямоугольном треугольнике один угол всегда равен 90°.
• Сумма углов треугольника равна 180°.
• Для первого треугольника: 90° + 30° + x = 180°, следовательно, x = 60°.
• Для второго треугольника: 90° + 60° + y = 180°, следовательно, y = 30°.
• Таким образом, углы обоих треугольников равны: 90°, 60° и 30°.
• Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны (по первому признаку подобия треугольников).

Ответ: Да, треугольники подобны, так как имеют одинаковые углы (30°, 60° и 90°).

2. Отрезки AC и BD пересекаются в точке O, так что отрезок AB параллелен отрезку CD, докажите, что треугольники ABO и CDO подобны, найдите AB, если OD= 8см, BO=16см, CD=20см.

• Доказательство подобия треугольников ABO и CDO:
• Угол AOB равен углу COD как вертикальные углы.
• Угол OAB равен углу OCD как накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и CD и секущей AC.
• Следовательно, треугольники ABO и CDO подобны по двум углам (первый признак подобия).
• Нахождение AB:
• Так как треугольники подобны, то их стороны пропорциональны: AB/CD = BO/OD.
• AB/20 = 16/8.
• AB = (16/8) * 20 = 2 * 20 = 40 см.

Ответ: AB = 40 см.

3. Докажите, что треугольники MNK и M1N1K1 подобны, если угол N равен углу N1, MN=4,8 см, M1N1=1,2 см, NK =3,6 см, N1K1=0,9 см.

• Угол N = углу N1 (дано).
• Проверим пропорциональность сторон, прилежащих к этим углам:
• MN/M1N1 = 4,8/1,2 = 4.
• NK/N1K1 = 3,6/0,9 = 4.
• Так как MN/M1N1 = NK/N1K1, то стороны пропорциональны.
• Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, и стороны, образующие этот угол, пропорциональны, то такие треугольники подобны (по второму признаку подобия треугольников).

Ответ: Треугольники MNK и M1N1K1 подобны.

4. Определите, подобны ли треугольники, если их стороны равны: 1) 20 см, 14 см, 12 см и 120 см, 70 см, 60 см; 2) 3,2 см, 5,1 см, 6,4 см и 6,4 см, 18 см, 12,8 см.

• Для подобия треугольников необходимо, чтобы их стороны были пропорциональны.
• 1) Проверим пропорциональность сторон:
• 20/120 = 1/6
• 14/70 = 1/5
• 12/60 = 1/5
• Так как отношения сторон не равны, то треугольники не подобны.
• 2) Проверим пропорциональность сторон:
• 3,2/6,4 = 1/2
• 5,1/12,8 = 0,398 (примерно)
• 6,4/12,8 = 1/2
• 6,4/18 = 0,356 (примерно)
• 18/3,2 = 5,625 (примерно)
• 12,8/5,1 = 2,51 (примерно)
• Все отношения не равны, необходимо изменить порядок сопоставления.
• 3,2/6,4 = 5,1/12,8 = 6,4/12,8 = 1/2
• Таким образом, стороны пропорциональны, и треугольники подобны (по третьему признаку подобия треугольников).

Ответ: 1) Нет, не подобны; 2) Да, подобны.

5. Стороны треугольника относятся как 5:7:9, а стороны другого равны 35 см, 49 см, 63 см. Подобны ли данные треугольники?

• Пусть стороны первого треугольника: 5x, 7x, 9x.
• Стороны второго треугольника: 35 см, 49 см, 63 см.
• Проверим пропорциональность сторон:
• 5x = 35, x = 7.
• 7x = 49, x = 7.
• 9x = 63, x = 7.
• Так как x одинаков для всех сторон, то стороны пропорциональны.
• Следовательно, треугольники подобны.

Ответ: Да, треугольники подобны.

Ответ: 1. Да, подобны; 2. AB = 40 см; 3. Доказано; 4. 1) Нет, не подобны; 2) Да, подобны; 5. Да, подобны.