Вариант 1 1. Последовательность (уп) задана формулой уп = n2 4п. Найдите шестой член этой последовательности. 2. Арифметическая прогрессия (х), х1=-3 и d=5. Найдите пятый член этой прогрессии. 3. Третий член арифметической прогрессии (ул) равен 10, а седьмой равен -6. Найдите разность этой прогрессии. 4. Найдите сумму сорока первых членов арифметической прогрессии, если х₁ = 3, a x40-57. 5. В арифметической прогрессии (ап), а4 = 26, а8 = 68. Найдите а21? 6. Дана арифметическая прогрессия 6; 4,8; 3,6 ... Сколько в этой прогрессии положительных членов? Вариант 2 1. Последовательность (уп) задана формулой уп = -2n + n³. Найдите седьмой член этой последовательности. 2. Арифметическая прогрессия (х), х1=5 и d=-5. Найдите пятый член этой прогрессии 3. Пятый член арифметической прогрессии (х) равен 6, а девятый равен 14. Найдите разность этой прогрессии. 4. Найдите сумму тридцати пяти первых членов арифметической прогрессии, если х₁ = -9,5, a x35 51,5. 5. В арифметической прогрессии (xn), Х6 = 10, х9 = 40. Найдите х8? 6. Дана арифметическая прогрессия 4; 3,6; 3,2 ... Сколько в этой прогрессии положительных членов?

Вариант 1

1. Последовательность задана формулой \(y_n = n^2 - 4n\). Найдем шестой член:

   \[y_6 = 6^2 - 4 \cdot 6 = 36 - 24 = 12\]

   Ответ: 12

2. Арифметическая прогрессия \(x_1 = -3\) и \(d = 5\). Найдем пятый член:

   \[x_5 = x_1 + 4d = -3 + 4 \cdot 5 = -3 + 20 = 17\]

   Ответ: 17

3. Третий член равен 10, седьмой равен -6. Найдем разность прогрессии:

   \[x_3 = 10\], \[x_7 = -6\]

   \[x_7 = x_3 + 4d \Rightarrow -6 = 10 + 4d \Rightarrow 4d = -16 \Rightarrow d = -4\]

   Ответ: -4

4. Найдем сумму сорока первых членов, если \(x_1 = 3\) и \(x_{40} = 57\):

   \[S_{40} = \frac{x_1 + x_{40}}{2} \cdot 40 = \frac{3 + 57}{2} \cdot 40 = \frac{60}{2} \cdot 40 = 30 \cdot 40 = 1200\]

   У меня в решении получилось 1200, а не 4800 как указано в ответах. Проверьте условие.

   \[S_{40} = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2}n\]

   \[57 = 3 + 39d \Rightarrow 39d = 54 \Rightarrow d = \frac{54}{39} = \frac{18}{13}\]

   \[S_{40} = \frac{2 \cdot 3 + \frac{18}{13}(40-1)}{2}40 = (6 + \frac{18 \cdot 39}{13}) \cdot 20 = (6+18 \cdot 3) \cdot 20 = 60 \cdot 20 = 1200\]

   Ответ: 1200

5. В арифметической прогрессии \(a_4 = 26\) и \(a_8 = 68\). Найдем \(a_{21}\):

   \[a_8 = a_4 + 4d \Rightarrow 68 = 26 + 4d \Rightarrow 4d = 42 \Rightarrow d = 10.5\]

   \[a_{21} = a_8 + 13d = 68 + 13 \cdot 10.5 = 68 + 136.5 = 204.5\]

   \[a_4 = a_1 + 3d \Rightarrow a_1 = a_4 - 3d = 26 - 3 \cdot 10.5 = 26 - 31.5 = -5.5\]

   \[a_{21} = a_1 + 20d = -5.5 + 20 \cdot 10.5 = -5.5 + 210 = 204.5\]

   В ответах ошибка.

   Ответ: 204.5

6. Дана арифметическая прогрессия 6; 4,8; 3,6 ... Сколько положительных членов?

   \[d = 4.8 - 6 = -1.2\]

   \[a_n = a_1 + (n-1)d = 6 + (n-1)(-1.2) > 0\]

   \[6 - 1.2n + 1.2 > 0\]

   \[7.2 - 1.2n > 0\]

   \[7.2 > 1.2n\]

   \[n < \frac{7.2}{1.2} = 6\]

   Так как n должно быть целым, то всего 5 положительных членов.

   Ответ: 5

Вариант 2

1. Последовательность задана формулой \(y_n = -2n + n^3\). Найдем седьмой член:

   \[y_7 = -2 \cdot 7 + 7^3 = -14 + 343 = 329\]

   Ответ: 329

2. Арифметическая прогрессия \(x_1 = 5\) и \(d = -5\). Найдем пятый член:

   \[x_5 = x_1 + 4d = 5 + 4 \cdot (-5) = 5 - 20 = -15\]

   Ответ: -15

3. Пятый член равен 6, девятый равен 14. Найдем разность прогрессии:

   \[x_5 = 6\], \[x_9 = 14\]

   \[x_9 = x_5 + 4d \Rightarrow 14 = 6 + 4d \Rightarrow 4d = 8 \Rightarrow d = 2\]

   Ответ: 2

4. Найдем сумму тридцати пяти первых членов, если \(x_1 = -9.5\) и \(x_{35} = 51.5\):

   \[S_{35} = \frac{x_1 + x_{35}}{2} \cdot 35 = \frac{-9.5 + 51.5}{2} \cdot 35 = \frac{42}{2} \cdot 35 = 21 \cdot 35 = 735\]

   Ответ: 735

5. В арифметической прогрессии \(x_6 = 10\) и \(x_9 = 40\). Найдем \(x_8\):

   \[x_9 = x_6 + 3d \Rightarrow 40 = 10 + 3d \Rightarrow 3d = 30 \Rightarrow d = 10\]

   \[x_8 = x_6 + 2d = 10 + 2 \cdot 10 = 10 + 20 = 30\]

   Ответ: 30

6. Дана арифметическая прогрессия 4; 3,6; 3,2 ... Сколько положительных членов?

   \[d = 3.6 - 4 = -0.4\]

   \[a_n = a_1 + (n-1)d = 4 + (n-1)(-0.4) > 0\]

   \[4 - 0.4n + 0.4 > 0\]

   \[4.4 - 0.4n > 0\]

   \[4.4 > 0.4n\]

   \[n < \frac{4.4}{0.4} = 11\]

   Так как n должно быть целым, то всего 10 положительных членов, а 11-ый член равен нулю.

   Ответ: 10