Вариант 1 1. Последовательность (уп) задана формулой yn = n2 – 4n. Найдите шестой член этой последовательности. 2. Арифметическая прогрессия (xn), x1=-3 и d=5. Найдите пятый член этой прогрессии. 3. Третий член арифметической прогрессии (yn) равен 10, а седьмой равен -6. Найдите разность этой прогрессии. 4. Найдите сумму сорока первых членов арифметической прогрессии, если х1 = 3, а x40=57. 5. В арифметической прогрессии (an), a4 = 26, a8 = 68. Найдите а21? 6. Дана арифметическая прогрессия 6; 4,8; 3,6 Сколько в этой прогрессии положительных членов?

Вариант 1 1. Дано: Последовательность задана формулой $$y_n = n^2 - 4n$$. Найти: шестой член этой последовательности. Решение: Подставим значение n=6 в формулу $$y_n = n^2 - 4n$$. $$y_6 = 6^2 - 4 \cdot 6 = 36 - 24 = 12$$ Ответ: 12 2. Дано: Арифметическая прогрессия $$(x_n)$$, $$x_1 = -3$$, $$d = 5$$. Найти: пятый член этой прогрессии. Решение: Используем формулу n-го члена арифметической прогрессии: $$x_n = x_1 + (n-1)d$$. Подставим n=5, $$x_1 = -3$$, d = 5: $$x_5 = -3 + (5-1) \cdot 5 = -3 + 4 \cdot 5 = -3 + 20 = 17$$ Ответ: 17 3. Дано: Арифметическая прогрессия $$(y_n)$$, $$y_3 = 10$$, $$y_7 = -6$$. Найти: разность этой прогрессии. Решение: Используем формулу n-го члена арифметической прогрессии: $$y_n = y_1 + (n-1)d$$. Запишем уравнения для $$y_3$$ и $$y_7$$: $$y_3 = y_1 + 2d = 10$$ $$y_7 = y_1 + 6d = -6$$ Вычтем первое уравнение из второго: $$(y_1 + 6d) - (y_1 + 2d) = -6 - 10$$ $$4d = -16$$ $$d = -4$$ Ответ: -4 4. Дано: Арифметическая прогрессия, $$x_1 = 3$$, $$x_{40} = 57$$. Найти: сумму сорока первых членов арифметической прогрессии. Решение: Используем формулу суммы n первых членов арифметической прогрессии: $$S_n = \frac{x_1 + x_n}{2} \cdot n$$. Подставим n=40, $$x_1 = 3$$, $$x_{40} = 57$$: $$S_{40} = \frac{3 + 57}{2} \cdot 40 = \frac{60}{2} \cdot 40 = 30 \cdot 40 = 1200$$ Ответ: 1200 5. Дано: Арифметическая прогрессия $$(a_n)$$, $$a_4 = 26$$, $$a_8 = 68$$. Найти: $$a_{21}$$? Решение: Используем формулу n-го члена арифметической прогрессии: $$a_n = a_1 + (n-1)d$$. Запишем уравнения для $$a_4$$ и $$a_8$$: $$a_4 = a_1 + 3d = 26$$ $$a_8 = a_1 + 7d = 68$$ Вычтем первое уравнение из второго: $$(a_1 + 7d) - (a_1 + 3d) = 68 - 26$$ $$4d = 42$$ $$d = 10.5$$ Подставим значение d в первое уравнение: $$a_1 + 3 \cdot 10.5 = 26$$ $$a_1 + 31.5 = 26$$ $$a_1 = -5.5$$ Теперь найдем $$a_{21}$$: $$a_{21} = -5.5 + (21-1) \cdot 10.5 = -5.5 + 20 \cdot 10.5 = -5.5 + 210 = 204.5$$ Ответ: 204.5 6. Дано: Арифметическая прогрессия 6; 4,8; 3,6 ... Найти: Сколько в этой прогрессии положительных членов? Решение: Найдем разность арифметической прогрессии: $$d = 4.8 - 6 = -1.2$$ Используем формулу n-го члена арифметической прогрессии: $$a_n = a_1 + (n-1)d$$. Нам нужно найти такое n, при котором $$a_n > 0$$. $$6 + (n-1)(-1.2) > 0$$ $$6 - 1.2n + 1.2 > 0$$ $$7.2 - 1.2n > 0$$ $$7.2 > 1.2n$$ $$n < \frac{7.2}{1.2}$$ $$n < 6$$ Значит, в прогрессии 5 положительных членов. Ответ: 5