Вариант 3 1. Построить график функции у = -x² - 4x + 4. С помощью графика найдите: а) нули функции; б) промежутки, в которых у < 0 и у > 0; в) промежутки возрастания и убывания; г) область значений функции.

Для решения данной задачи необходимо:

1. Построить график заданной квадратичной функции.
2. Найти нули функции, то есть точки пересечения графика с осью Ox.
3. Определить промежутки, где функция принимает положительные и отрицательные значения.
4. Определить промежутки возрастания и убывания функции.
5. Найти область значений функции.

Решение:

1. Запишем функцию в виде $$y = -x^2 - 4x + 4$$.
2. Найдем вершину параболы по формуле $$x_v = -\frac{b}{2a}$$, где $$a = -1$$, $$b = -4$$:
   $$x_v = -\frac{-4}{2 \cdot (-1)} = -2$$
   Найдем значение функции в вершине:
   $$y_v = -(-2)^2 - 4 \cdot (-2) + 4 = -4 + 8 + 4 = 8$$
   Таким образом, вершина параболы находится в точке $$(-2; 8)$$.
3. Найдем нули функции, приравняв функцию к нулю:
   $$-x^2 - 4x + 4 = 0$$
   Умножим на -1:
   $$x^2 + 4x - 4 = 0$$
   Найдем дискриминант:
   $$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 16 + 16 = 32$$
   Найдем корни:
   $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + \sqrt{32}}{2} = \frac{-4 + 4\sqrt{2}}{2} = -2 + 2\sqrt{2} \approx 0.83$$
   $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - \sqrt{32}}{2} = \frac{-4 - 4\sqrt{2}}{2} = -2 - 2\sqrt{2} \approx -4.83$$
   Таким образом, нули функции находятся в точках $$\approx 0.83$$ и $$\approx -4.83$$.
4. Определим промежутки, где функция принимает положительные и отрицательные значения:
   Функция положительна при $$x \in (-2 - 2\sqrt{2}; -2 + 2\sqrt{2})$$, то есть y > 0 при $$x \in (-4.83; 0.83)$$.
   Функция отрицательна при $$x \in (-\infty; -2 - 2\sqrt{2}) \cup (-2 + 2\sqrt{2}; +\infty)$$, то есть y < 0 при $$x \in (-\infty; -4.83) \cup (0.83; +\infty)$$.
5. Определим промежутки возрастания и убывания функции:
   Функция возрастает при $$x \in (-\infty; -2)$$.
   Функция убывает при $$x \in (-2; +\infty)$$.
6. Определим область значений функции:
   Область значений функции: $$y \in (-\infty; 8]$$.

Ответ:

• a) Нули функции: $$x_1 \approx 0.83$$, $$x_2 \approx -4.83$$
• б) Промежутки, где y < 0: $$x \in (-\infty; -4.83) \cup (0.83; +\infty)$$, где y > 0: $$x \in (-4.83; 0.83)$$
• в) Функция возрастает при $$x \in (-\infty; -2)$$, убывает при $$x \in (-2; +\infty)$$
• г) Область значений функции: $$y \in (-\infty; 8]$$