Вариант 4 3 2 1. Постройте график функции у = х² + 1 и опишите ее свой- ства. 2. Решите графически систему уравнений 3 = -x² + 1; y = (x - 1)3. y

1. Постройте график функции $$y = -x^\frac{3}{2} + 1$$ и опишите ее свойства.

Для построения графика функции $$y = -x^\frac{3}{2} + 1$$ и описания ее свойств, выполним следующие шаги:

1. Определение функции:

Функция $$y = -x^\frac{3}{2} + 1$$ является степенной функцией. Важно отметить, что она определена только для $$x ≥ 0$$, так как мы не можем извлекать квадратный корень из отрицательных чисел.

2. Область определения:

Область определения функции: $$x ∈ [0; +∞)$$.

3. Пересечение с осью Y:

Чтобы найти точку пересечения с осью Y, полагаем $$x = 0$$: $$y = -0^\frac{3}{2} + 1 = 1$$. Точка пересечения с осью Y: $$(0; 1)$$.

4. Пересечение с осью X:

Чтобы найти точку пересечения с осью X, полагаем $$y = 0$$: $$0 = -x^\frac{3}{2} + 1$$; $$x^\frac{3}{2} = 1$$; $$x = 1$$. Точка пересечения с осью X: $$(1; 0)$$.

5. Анализ на монотонность:

Найдем первую производную функции: $$y' = -\frac{3}{2}x^\frac{1}{2}$$. Так как $$x ≥ 0$$, то $$y' ≤ 0$$, следовательно, функция убывает на всей области определения.

6. Выпуклость и вогнутость:

Найдем вторую производную функции: $$y'' = -\frac{3}{4}x^{-\frac{1}{2}} = -\frac{3}{4\sqrt{x}}$$. Так как $$x > 0$$, то $$y'' < 0$$, следовательно, функция выпукла вверх на всей области определения.

7. График функции:

Функция начинается в точке $$(0; 1)$$, убывает и пересекает ось X в точке $$(1; 0)$$. Функция всегда выпукла вверх. Для более точного построения графика можно рассчитать несколько дополнительных точек:

• $$x = 0.25$$: $$y = -0.25^\frac{3}{2} + 1 = -0.125 + 1 = 0.875$$
• $$x = 4$$: $$y = -4^\frac{3}{2} + 1 = -8 + 1 = -7$$
• $$x = 9$$: $$y = -9^\frac{3}{2} + 1 = -27 + 1 = -26$$

Таким образом, график функции выглядит следующим образом:

Свойства функции:

• Область определения: $$x ∈ [0; +∞)$$
• Область значений: $$y ∈ (-∞; 1]$$
• Функция убывает на всей области определения.
• Функция выпукла вверх на всей области определения.
• Пересечение с осью Y: $$(0; 1)$$
• Пересечение с осью X: $$(1; 0)$$

2. Решите графически систему уравнений:

$$\begin{cases} y = -x^\frac{3}{2} + 1; \\ y = (x - 1)^3.\\ \end{cases}$$

Решение графически системы уравнений предполагает построение графиков обоих уравнений и нахождение точек их пересечения. График функции $$y = -x^\frac{3}{2} + 1$$ был построен в предыдущем пункте. Теперь построим график функции $$y = (x - 1)^3$$.

Для построения графика $$y = (x - 1)^3$$, можно воспользоваться следующими точками:

• $$x = 0$$: $$y = (0 - 1)^3 = -1$$
• $$x = 1$$: $$y = (1 - 1)^3 = 0$$
• $$x = 2$$: $$y = (2 - 1)^3 = 1$$
• $$x = 3$$: $$y = (3 - 1)^3 = 8$$

Теперь построим графики обеих функций на одной координатной плоскости и найдем точки пересечения.

Из графика видно, что графики пересекаются в точке $$(1; 0)$$.

Ответ: Решением системы уравнений является точка $$(1; 0)$$.