Вариант 1 1. Постройте график функции у = х2 – 6х + 5. Найдите с помощью графика: а) значение у при х = 0,5; б) значения х, при которых у = -1; в) нули функции; промежутки, в которых у > 0 и в которых у < 0; 2. Найдите наименьшее значение функции у = x² - 8x + 7. 3. Не выполняя построения, определите, пересекаются ли парабола у = х²/4 и прямая у = 5х - 16. Если точки пересечения существуют, то найдите их координаты. 4. Функция задана формулой f(x) = x²/4 – х. Найдите: 1) f(-4) и f(1); 2) нули функции.

Задание 1

1. Постройте график функции y = x² - 6x + 5. Найдите с помощью графика:

a) значение y при x = 0,5;

б) значения x, при которых y = -1;

в) нули функции; промежутки, в которых y > 0 и в которых y < 0.

Решение:

Для начала построим график функции y = x² - 6x + 5. Это парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при x² положительный.

Найдем вершину параболы:

x_v = -b / 2a = 6 / 2 = 3

y_v = (3)² - 6 * 3 + 5 = 9 - 18 + 5 = -4

Вершина параболы (3, -4).

Теперь найдем нули функции (точки пересечения с осью x):

x² - 6x + 5 = 0

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

D = b² - 4ac = (-6)² - 4 * 1 * 5 = 36 - 20 = 16

x_1 = (6 + √16) / 2 = (6 + 4) / 2 = 5

x_2 = (6 - √16) / 2 = (6 - 4) / 2 = 1

Нули функции: x = 1 и x = 5.

Теперь, имея вершину и нули, можно схематично построить график.

a) Значение y при x = 0,5:

Подставим x = 0,5 в уравнение функции:

y = (0,5)² - 6 * 0,5 + 5 = 0,25 - 3 + 5 = 2,25

б) Значения x, при которых y = -1:

x² - 6x + 5 = -1

x² - 6x + 6 = 0

D = (-6)² - 4 * 1 * 6 = 36 - 24 = 12

x_1 = (6 + √12) / 2 = (6 + 2√3) / 2 = 3 + √3

x_2 = (6 - √12) / 2 = (6 - 2√3) / 2 = 3 - √3

в) Нули функции и промежутки, где y > 0 и y < 0:

Нули функции: x = 1 и x = 5 (мы их уже нашли).

y > 0 при x < 1 и x > 5.

y < 0 при 1 < x < 5.

Задание 2

Найдите наименьшее значение функции y = x² - 8x + 7.

Решение:

Чтобы найти наименьшее значение функции y = x² - 8x + 7, найдем вершину параболы, так как ветви направлены вверх.

x_v = -b / 2a = 8 / 2 = 4

y_v = (4)² - 8 * 4 + 7 = 16 - 32 + 7 = -9

Наименьшее значение функции: -9.

Задание 3

Не выполняя построения, определите, пересекаются ли парабола y = x²/4 и прямая y = 5x - 16. Если точки пересечения существуют, то найдите их координаты.

Решение:

Чтобы определить, пересекаются ли парабола и прямая, приравняем их уравнения:

x²/4 = 5x - 16

x² = 20x - 64

x² - 20x + 64 = 0

Найдем дискриминант:

D = (-20)² - 4 * 1 * 64 = 400 - 256 = 144

Так как D > 0, есть две точки пересечения.

x_1 = (20 + √144) / 2 = (20 + 12) / 2 = 16

x_2 = (20 - √144) / 2 = (20 - 12) / 2 = 4

Найдем соответствующие значения y:

y_1 = 5 * 16 - 16 = 80 - 16 = 64

y_2 = 5 * 4 - 16 = 20 - 16 = 4

Точки пересечения: (16, 64) и (4, 4).

Задание 4

Функция задана формулой f(x) = x²/4 – x. Найдите: 1) f(-4) и f(1); 2) нули функции.

Решение:

1) Найдем f(-4) и f(1):

f(-4) = (-4)² / 4 - (-4) = 16 / 4 + 4 = 4 + 4 = 8

f(1) = (1)² / 4 - 1 = 1 / 4 - 1 = -3 / 4 = -0,75

2) Найдем нули функции:

x²/4 - x = 0

x(x/4 - 1) = 0

x = 0 или x/4 - 1 = 0

x = 0 или x = 4

Нули функции: x = 0 и x = 4.