Вариант 5 1. Постройте прямую, заданную уравнением у = 2x + 1. 2. Решите графически систему уравнений: y = -0.5x +4 y=3x-2 3. Решите системы уравнений: a) x+y=5 xy = 6 б) x-y=1 x² + y² = 25 4. Является ли пара чисел (2; 3) решением системы уравнений { 4x-y-5 3x+2y=12 5. Постройте график функции у= (x - 1)² +3. 6. Четыре марки и два конверта стоят 26 рублей, три марки и пять конвертов стоят 30 рублей. Ско стоит один конверт и одна марка?

Вариант 5

1. Постройте прямую, заданную уравнением y = 2x + 1.

Чтобы построить прямую, достаточно двух точек. Выберем значения x и вычислим соответствующие значения y:

• Если x = 0, то y = 2 * 0 + 1 = 1. Первая точка (0, 1).
• Если x = 1, то y = 2 * 1 + 1 = 3. Вторая точка (1, 3).

Теперь можно построить прямую, проходящую через эти две точки.

2. Решите графически систему уравнений:

\[\begin{cases} y = -0.5x + 4 \\ y = 3x - 2 \end{cases}\]

Для решения графически, построим графики обоих уравнений и найдем точку их пересечения:

• Для y = -0.5x + 4:
• Если x = 0, то y = 4. Первая точка (0, 4).
• Если x = 2, то y = -0.5 * 2 + 4 = 3. Вторая точка (2, 3).
• Для y = 3x - 2:
• Если x = 0, то y = -2. Первая точка (0, -2).
• Если x = 1, то y = 3 * 1 - 2 = 1. Вторая точка (1, 1).

Точка пересечения графиков (примерно) (1.7, 3.1). Таким образом, x ≈ 1.7, y ≈ 3.1.

3. Решите системы уравнений:

a)\[\begin{cases} x + y = 5 \\ xy = 6 \end{cases}\]

Выразим y из первого уравнения: y = 5 - x. Подставим во второе уравнение:

x(5 - x) = 6

5x - x^2 = 6

x^2 - 5x + 6 = 0

Решим квадратное уравнение: D = (-5)^2 - 4 * 1 * 6 = 25 - 24 = 1

x1 = (5 + 1) / 2 = 3

x2 = (5 - 1) / 2 = 2

Если x = 3, то y = 5 - 3 = 2

Если x = 2, то y = 5 - 2 = 3

Ответ: (3, 2) и (2, 3)

б)\[\begin{cases} x - y = 1 \\ x^2 + y^2 = 25 \end{cases}\]

Выразим x из первого уравнения: x = y + 1. Подставим во второе уравнение:

(y + 1)^2 + y^2 = 25

y^2 + 2y + 1 + y^2 = 25

2y^2 + 2y - 24 = 0

y^2 + y - 12 = 0

Решим квадратное уравнение: D = 1^2 - 4 * 1 * (-12) = 1 + 48 = 49

y1 = (-1 + 7) / 2 = 3

y2 = (-1 - 7) / 2 = -4

Если y = 3, то x = 3 + 1 = 4

Если y = -4, то x = -4 + 1 = -3

Ответ: (4, 3) и (-3, -4)

4. Является ли пара чисел (2; 3) решением системы уравнений\[\begin{cases} 4x - y = 5 \\ 3x + 2y = 12 \end{cases}\]

Подставим x = 2 и y = 3 в оба уравнения:

4 * 2 - 3 = 8 - 3 = 5 (верно)

3 * 2 + 2 * 3 = 6 + 6 = 12 (верно)

Ответ: Да, пара чисел (2; 3) является решением системы уравнений.

5. Постройте график функции y = (x - 1)^2 + 3.

Это парабола с вершиной в точке (1, 3). График можно построить, взяв несколько точек:

• x = 0, y = (0 - 1)^2 + 3 = 1 + 3 = 4. Точка (0, 4).
• x = 1, y = (1 - 1)^2 + 3 = 0 + 3 = 3. Точка (1, 3).
• x = 2, y = (2 - 1)^2 + 3 = 1 + 3 = 4. Точка (2, 4).

6. Четыре марки и два конверта стоят 26 рублей, три марки и пять конвертов стоят 30 рублей. Сколько стоит один конверт и одна марка?

Пусть m - стоимость марки, k - стоимость конверта. Тогда:

\[\begin{cases} 4m + 2k = 26 \\ 3m + 5k = 30 \end{cases}\]

Умножим первое уравнение на 5, а второе на -2:

\[\begin{cases} 20m + 10k = 130 \\ -6m - 10k = -60 \end{cases}\]

Сложим уравнения:

14m = 70

m = 5

Теперь найдем стоимость конверта:

4 * 5 + 2k = 26

20 + 2k = 26

2k = 6

k = 3

Ответ: марка стоит 5 рублей, конверт стоит 3 рубля.