Вариант 4 1 Представьте в виде многочлена: a) (x + 5)(x - 3); б) (2c3d)(7c + d); в) (р + 4)(р² - 7p + 3). 2 Разложите на множители: a) t(p + q) - 3(p + q); б) 5x - 5y + kx - ky. 3 Упростите выражение ab(a + b) (a² + b²)(3a - b). 4. Докажите тождество b(b - 3) - 28 = (b + 4)(b - 7). 5 Длина прямоугольника в 3 раза больше его ширины. Если длину увеличить на 6 дм, а ширину на 2 дм, то площадь его увеличится на 48 дм². Найдите длину и ширину прямо- угольника.

1. Представьте в виде многочлена:

• a) \((x + 5)(x - 3)\)
• б) \((2c - 3d)(7c + d)\)
• в) \((p + 4)(p^2 - 7p + 3)\)

Решение:

• a) \((x + 5)(x - 3) = x^2 - 3x + 5x - 15 = x^2 + 2x - 15\)
• б) \((2c - 3d)(7c + d) = 14c^2 + 2cd - 21cd - 3d^2 = 14c^2 - 19cd - 3d^2\)
• в) \((p + 4)(p^2 - 7p + 3) = p^3 - 7p^2 + 3p + 4p^2 - 28p + 12 = p^3 - 3p^2 - 25p + 12\)

Ответ:

2. Разложите на множители:

• a) \(t(p + q) - 3(p + q)\)
• б) \(5x - 5y + kx - ky\)

Решение:

• a) \(t(p + q) - 3(p + q) = (p + q)(t - 3)\)
• б) \(5x - 5y + kx - ky = 5(x - y) + k(x - y) = (x - y)(5 + k)\)

Ответ:

3. Упростите выражение \(ab(a + b) - (a^2 + b^2)(3a - b)\)

Решение:

\(ab(a + b) - (a^2 + b^2)(3a - b) = a^2b + ab^2 - (3a^3 - a^2b + 3ab^2 - b^3) = a^2b + ab^2 - 3a^3 + a^2b - 3ab^2 + b^3 = -3a^3 + 2a^2b - 2ab^2 + b^3\)

Ответ:

4. Докажите тождество \(b(b - 3) - 28 = (b + 4)(b - 7)\)

Решение:

Раскроем скобки в обеих частях:

Левая часть: \(b(b - 3) - 28 = b^2 - 3b - 28\)

Правая часть: \((b + 4)(b - 7) = b^2 - 7b + 4b - 28 = b^2 - 3b - 28\)

Так как левая и правая части равны, тождество доказано.

Ответ:Тождество доказано.

5. Длина прямоугольника в 3 раза больше его ширины. Если длину увеличить на 6 дм, а ширину на 2 дм, то площадь его увеличится на 48 дм². Найдите длину и ширину прямоугольника.

Решение:

Пусть ширина прямоугольника равна \(x\) дм, тогда длина равна \(3x\) дм.

Площадь прямоугольника равна \(3x^2\) дм².

Если длину увеличить на 6 дм, а ширину на 2 дм, то новая длина будет \(3x + 6\) дм, а новая ширина \(x + 2\) дм.

Новая площадь будет \((3x + 6)(x + 2)\) дм².

По условию, новая площадь больше исходной на 48 дм², поэтому получаем уравнение:

\((3x + 6)(x + 2) - 3x^2 = 48\)

\(3x^2 + 6x + 6x + 12 - 3x^2 = 48\)

\(12x + 12 = 48\)

\(12x = 36\)

\(x = 3\)

Значит, ширина прямоугольника равна 3 дм, а длина \(3 \cdot 3 = 9\) дм.

Ответ: Длина: 9 дм, ширина: 3 дм