Вариант 1 1. Представьте в виде многочлена: a) (x + y - 2)²; 6) (2x + y + z − 1)². 2. Упростите выражение (а - 2b)³ - 6ab(a + 2b). 3. Разложите на множители: a) 8x³ + 1; 6) 125 - (x + 2)8. 4. Найдите значение выражения a(a + 3)(a - 3) - (a + 2)(a² - 2а + 4), где а = >5. Докажите, что 5 6 - 2 12 кратно 9. 6. Найдите значение выражения 733 + 578 73.57 :(22– 10%). 130 - 57): 7. Найдите множество корней уравнения 8x³ - 36x² + 54x - 27 = 0. 8. Докажите, что выражение 2x² + y² - 2xy + 4x – 4y + 5 прини- мает лишь положительные значения при любых значениях входящих в него переменных.

Ответ: Решения ниже

1. Представьте в виде многочлена:

a) (x + y - 2)²

Разбираемся:

(x + y - 2)² = (x + y - 2)(x + y - 2) = x² + xy - 2x + xy + y² - 2y - 2x - 2y + 4 = x² + y² + 2xy - 4x - 4y + 4

Ответ: x² + y² + 2xy - 4x - 4y + 4

б) (2x + y + z - 1)²

(2x + y + z - 1)² = (2x + y + z - 1)(2x + y + z - 1) = 4x² + 2xy + 2xz - 2x + 2xy + y² + yz - y + 2xz + yz + z² - z - 2x - y - z + 1 = 4x² + y² + z² + 4xy + 4xz + 2yz - 4x - 2y - 2z + 1

Ответ: 4x² + y² + z² + 4xy + 4xz + 2yz - 4x - 2y - 2z + 1

2. Упростите выражение (a - 2b)³ - 6ab(a + 2b).

Разбираемся:

(a - 2b)³ = a³ - 3a²(2b) + 3a(2b)² - (2b)³ = a³ - 6a²b + 12ab² - 8b³

6ab(a + 2b) = 6a²b + 12ab²

(a - 2b)³ - 6ab(a + 2b) = a³ - 6a²b + 12ab² - 8b³ - 6a²b - 12ab² = a³ - 12a²b - 8b³

Ответ: a³ - 12a²b - 8b³

3. Разложите на множители:

а) 8x³ + 1

8x³ + 1 = (2x)³ + 1³ = (2x + 1)(4x² - 2x + 1)

Ответ: (2x + 1)(4x² - 2x + 1)

б) 125 - (x + 2)³

125 - (x + 2)³ = 5³ - (x + 2)³ = (5 - (x + 2))(25 + 5(x + 2) + (x + 2)²) = (5 - x - 2)(25 + 5x + 10 + x² + 4x + 4) = (3 - x)(x² + 9x + 39)

Ответ: (3 - x)(x² + 9x + 39)

4. Найдите значение выражения a(a + 3)(a - 3) - (a + 2)(a² - 2a + 4), где а = -2/9

Разбираемся:

a(a + 3)(a - 3) = a(a² - 9) = a³ - 9a

(a + 2)(a² - 2a + 4) = a³ + 8

a(a + 3)(a - 3) - (a + 2)(a² - 2a + 4) = a³ - 9a - (a³ + 8) = a³ - 9a - a³ - 8 = -9a - 8

Если a = -2/9, то -9(-2/9) - 8 = 2 - 8 = -6

Ответ: -6

5. Докажите, что 5⁶ - 2¹² кратно 9.

Разбираемся:

5⁶ - 2¹² = (5³)² - (2⁶)² = (5³ - 2⁶)(5³ + 2⁶) = (125 - 64)(125 + 64) = (61)(189)

189 делится на 9, следовательно, (61)(189) делится на 9.

Ответ: Доказано, что 5⁶ - 2¹² кратно 9.

6. Найдите значение выражения ((73³ + 57³)/130 - 73 ⋅ 57) : (22² – 10²).

Разбираемся:

(73³ + 57³)/130 - 73 ⋅ 57 = ((73 + 57)(73² - 73 ⋅ 57 + 57²))/130 - 73 ⋅ 57 = (130(73² - 73 ⋅ 57 + 57²))/130 - 73 ⋅ 57 = 73² - 73 ⋅ 57 + 57² - 73 ⋅ 57 = 73² - 2 ⋅ 73 ⋅ 57 + 57² = (73 - 57)² = 16² = 256

22² – 10² = (22 + 10)(22 - 10) = (32)(12) = 384

256 : 384 = 2/3

Ответ: 2/3

7. Найдите множество корней уравнения 8x³ - 36x² + 54x - 27 = 0.

Разбираемся:

8x³ - 36x² + 54x - 27 = 0

(2x)³ - 3(2x)²(3) + 3(2x)(3)² - 3³ = 0

(2x - 3)³ = 0

2x - 3 = 0

2x = 3

x = 3/2

Ответ: x = 3/2

8. Докажите, что выражение 2x² + y² - 2xy + 4x – 4y + 5 принимает лишь положительные значения при любых значениях входящих в него переменных.

Разбираемся:

2x² + y² - 2xy + 4x – 4y + 5 = (x² - 2xy + y²) + (x² + 4x - 4y) + 5 = (x - y)² + x² + 4x – 4y + 5 = (x - y)² + 4(x - y) + x² + 5 = (x - y)² + 4(x - y) + 4 + x² + 1 = (x - y + 2)² + x² + 1

Так как квадрат любого числа неотрицателен, то (x - y + 2)² ≥ 0 и x² ≥ 0. Следовательно, (x - y + 2)² + x² + 1 ≥ 1 > 0 при любых значениях x и y.

Ответ: Доказано, что выражение 2x² + y² - 2xy + 4x – 4y + 5 принимает лишь положительные значения при любых значениях входящих в него переменных.

Ответ: Решения выше