Вариант 4 1 Преобразуйте в многочлен: a) a(5a - 2) - (α - 4)(a + 4); б) (m - 5)(m + 6) - (m - 6)²; в) 6(x + 2y)² - 24ху. 2 Разложите на множители: a) n³ - 81n; 2 б) -5a² - 30ab - 45 3 Упростите выражение (х-2)²(x + дите его значение при х = -2.

Задание 1

а) Преобразуйте в многочлен выражение: a(5a - 2) - (a - 4)(a + 4).

• Шаг 1: Раскрываем скобки в первом слагаемом:

\[a(5a - 2) = 5a^2 - 2a\]

• Шаг 2: Раскрываем скобки во втором слагаемом, используя формулу разности квадратов:

\[(a - 4)(a + 4) = a^2 - 4^2 = a^2 - 16\]

• Шаг 3: Подставляем полученные выражения в исходное выражение:

\[5a^2 - 2a - (a^2 - 16) = 5a^2 - 2a - a^2 + 16\]

• Шаг 4: Приводим подобные слагаемые:

\[5a^2 - a^2 - 2a + 16 = 4a^2 - 2a + 16\]

Ответ: \(4a^2 - 2a + 16\)

б) Преобразуйте в многочлен выражение: (m - 5)(m + 6) - (m - 6)².

• Шаг 1: Раскрываем скобки в первом слагаемом:

\[(m - 5)(m + 6) = m^2 + 6m - 5m - 30 = m^2 + m - 30\]

• Шаг 2: Раскрываем скобки во втором слагаемом, используя формулу квадрата разности:

\[(m - 6)^2 = m^2 - 2 \cdot m \cdot 6 + 6^2 = m^2 - 12m + 36\]

• Шаг 3: Подставляем полученные выражения в исходное выражение:

\[m^2 + m - 30 - (m^2 - 12m + 36) = m^2 + m - 30 - m^2 + 12m - 36\]

• Шаг 4: Приводим подобные слагаемые:

\[m^2 - m^2 + m + 12m - 30 - 36 = 13m - 66\]

Ответ: \(13m - 66\)

в) Преобразуйте в многочлен выражение: 6(x + 2y)² - 24xy.

• Шаг 1: Раскрываем скобки в первом слагаемом, используя формулу квадрата суммы:

\[6(x + 2y)^2 = 6(x^2 + 2 \cdot x \cdot 2y + (2y)^2) = 6(x^2 + 4xy + 4y^2)\]

• Шаг 2: Раскрываем скобки:

\[6(x^2 + 4xy + 4y^2) = 6x^2 + 24xy + 24y^2\]

• Шаг 3: Подставляем полученное выражение в исходное выражение:

\[6x^2 + 24xy + 24y^2 - 24xy\]

• Шаг 4: Приводим подобные слагаемые:

\[6x^2 + 24xy - 24xy + 24y^2 = 6x^2 + 24y^2\]

Ответ: \(6x^2 + 24y^2\)

Задание 2

а) Разложите на множители выражение: n³ - 81n.

• Шаг 1: Выносим общий множитель n за скобки:

\[n^3 - 81n = n(n^2 - 81)\]

• Шаг 2: Применяем формулу разности квадратов:

\[n(n^2 - 81) = n(n - 9)(n + 9)\]

Ответ: \(n(n - 9)(n + 9)\)

б) Разложите на множители выражение: -5a² - 30ab - 45b².

• Шаг 1: Выносим общий множитель -5 за скобки:

\[-5a^2 - 30ab - 45 = -5(a^2 + 6ab + 9)\]

• Шаг 2: Замечаем, что в скобках находится полный квадрат суммы:

\[-5(a^2 + 6ab + 9) = -5(a + 3)^2\]

Ответ: \(-5(a + 3)^2\)

Задание 3

Упростите выражение (x - 2)²(x + 2) и найдите его значение при x = -2.

• Шаг 1: Упрощаем выражение, используя формулу разности квадратов:

\[(x - 2)^2(x + 2) = (x - 2)(x - 2)(x + 2) = (x - 2)(x^2 - 4)\]

• Шаг 2: Раскрываем скобки:

\[(x - 2)(x^2 - 4) = x^3 - 4x - 2x^2 + 8 = x^3 - 2x^2 - 4x + 8\]

• Шаг 3: Подставляем x = -2 в упрощенное выражение:

\[(-2)^3 - 2(-2)^2 - 4(-2) + 8 = -8 - 2(4) + 8 + 8 = -8 - 8 + 8 + 8 = 0\]

Ответ: 0