Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
Вариант 4 1. Преобразуйте в многочлен: a) a(5a - 2) - (a-4)(a + 4); 6) (m5)(m + 6) - (m - 6)²; в) 6(х + 2y)² - 24ху. 2. Разложите на множители: a) n³ - 81n; б) -5a² - 30ab - 4562. 3. Упростите выражение (x - 2)²(x + 2) + 2(x + 2)(x - 2) и най- дите его значение при х = -2. 4. Представьте в виде произведения: a) (x - 5)² - 36x²; б) х² - 4y² – x + 2y; в) 27х³ + ув. 5. Докажите тождество (2x + y)² + (2x - y)² = 2(4x² + y²).
Ответ:
Краткое пояснение: Выполним преобразования и упрощения алгебраических выражений, используя формулы сокращенного умножения и основные алгебраические тождества.
1. Преобразуйте в многочлен:
а) \[a(5a - 2) - (a - 4)(a + 4) = 5a^2 - 2a - (a^2 - 16) = 5a^2 - 2a - a^2 + 16 = 4a^2 - 2a + 16\] б) \[(m - 5)(m + 6) - (m - 6)^2 = m^2 + 6m - 5m - 30 - (m^2 - 12m + 36) = m^2 + m - 30 - m^2 + 12m - 36 = 13m - 66\] в) \[6(x + 2y)^2 - 24xy = 6(x^2 + 4xy + 4y^2) - 24xy = 6x^2 + 24xy + 24y^2 - 24xy = 6x^2 + 24y^2\]2. Разложите на множители:
а) \[n^3 - 81n = n(n^2 - 81) = n(n - 9)(n + 9)\] б) \[-5a^2 - 30ab - 45b^2 = -5(a^2 + 6ab + 9b^2) = -5(a + 3b)^2\]3. Упростите выражение (x - 2)²(x + 2) + 2(x + 2)(x - 2) и найдите его значение при х = -2.
\[(x - 2)^2(x + 2) + 2(x + 2)(x - 2) = (x + 2)((x - 2)^2 + 2(x - 2)) = (x + 2)(x^2 - 4x + 4 + 2x - 4) = (x + 2)(x^2 - 2x) = x(x + 2)(x - 2) = x(x^2 - 4)\] Подставим \(x = -2\): \[-2((-2)^2 - 4) = -2(4 - 4) = -2 \cdot 0 = 0\]4. Представьте в виде произведения:
а) \[(x - 5)^2 - 36x^2 = (x - 5 - 6x)(x - 5 + 6x) = (-5x - 5)(7x - 5) = -5(x + 1)(7x - 5)\] б) \[x^2 - 4y^2 - x + 2y = (x^2 - 4y^2) - (x - 2y) = (x - 2y)(x + 2y) - (x - 2y) = (x - 2y)(x + 2y - 1)\] в) \[27x^3 + y^6 = (3x)^3 + (y^2)^3 = (3x + y^2)(9x^2 - 3xy^2 + y^4)\]5. Докажите тождество (2x + y)² + (2x - y)² = 2(4x² + y²).
\[(2x + y)^2 + (2x - y)^2 = (4x^2 + 4xy + y^2) + (4x^2 - 4xy + y^2) = 8x^2 + 2y^2 = 2(4x^2 + y^2)\]Ответ: Тождество доказано.
