Вариант 4 1. Преобразуйте в многочлен: a) a(5a-2) - (a – 4)(a + 4) б) (m - 5)(m + 6) – (m – 6)²; в) 6(х + 2y)² - 24xy. 2. Разложите на множители: a) n³ - 81n; 6) -5a²-30ab - 45b2. 3. Упростите выражение (х - 2)²(x + 2) + 2(x + 2)(x - 2) и найдите его значение при х = -2. 4. Представьте в виде произведения: a) (x-5)² - 36x2; 2 6) x² - 4y² - x + 2y; в) 27x3 + у6. 5. Докажите тождество (2x + y)² + (2x - y)² = 2(4x² + y²).

1. Преобразуйте в многочлен:

• Раскроем скобки:
\[5a^2 - 2a - (a^2 - 16)\]
• Упростим:
\[5a^2 - 2a - a^2 + 16 = 4a^2 - 2a + 16\]

• Раскроем скобки:
\[(m^2 + 6m - 5m - 30) - (m^2 - 12m + 36)\]
• Упростим:
\[m^2 + m - 30 - m^2 + 12m - 36 = 13m - 66\]

• Раскроем скобки:
\[6(x^2 + 4xy + 4y^2) - 24xy = 6x^2 + 24xy + 24y^2 - 24xy\]
• Упростим:
\[6x^2 + 24y^2\]

2. Разложите на множители:

• Вынесем n за скобки:
\[n(n^2 - 81)\]
• Применим формулу разности квадратов:
\[n(n - 9)(n + 9)\]

• Вынесем -5 за скобки:
\[-5(a^2 + 6ab + 9b^2)\]
• Заметим, что в скобках полный квадрат:
\[-5(a + 3b)^2\]

3. Упростите выражение и найдите его значение при x = -2:

• Вынесем (x+2)(x-2) за скобки:
\[(x + 2)(x - 2) ((x-2) + 2)\]
• Упростим:
\[(x + 2)(x - 2) (x)\]
• Применим формулу разности квадратов:
\[(x^2 - 4)(x) = x^3 - 4x\]
• Подставим x = -2:
\[(-2)^3 - 4(-2) = -8 + 8 = 0\]

Ответ: 0

4. Представьте в виде произведения:

• Применим формулу разности квадратов:
\[(x - 5 - 6x)(x - 5 + 6x)\]
• Упростим:
\[(-5x - 5)(7x - 5)\]
• Вынесем общие множители:
\[-5(x + 1)(7x - 5)\]

• Сгруппируем члены:
\[(x^2 - 4y^2) - (x - 2y)\]
• Применим формулу разности квадратов:
\[(x - 2y)(x + 2y) - (x - 2y)\]
• Вынесем (x - 2y) за скобки:
\[(x - 2y)(x + 2y - 1)\]

• Представим как сумму кубов:
\[(3x)^3 + (y^2)^3\]
• Применим формулу суммы кубов:
\[(3x + y^2)(9x^2 - 3xy^2 + y^4)\]

5. Докажите тождество:

• Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы и разности:
\[(4x^2 + 4xy + y^2) + (4x^2 - 4xy + y^2)\]
• Упростим:
\[4x^2 + 4xy + y^2 + 4x^2 - 4xy + y^2 = 8x^2 + 2y^2\]
• Вынесем 2 за скобки:
\[2(4x^2 + y^2)\]
• Получили:
\[2(4x^2 + y^2) = 2(4x^2 + y^2)\]

Тождество доказано.