Вариант 4 1. Преобразуйте в многочлен. a) (2x – 1)²; б) (3a+c)²; в) (у-5)(y+5); г) (4b+5c)(46-5c). 2. Упростите выражение (x + y)(x−y)-(x²+3y²). 3. Разложите на множители. a) 16y² – 0,25; 6) a² +10ab + 256². 4. Решите уравнение (5 – x)² -х (2,5+ x) = 0. 5. Выполните действия. a) (2a-b²)(2a+b²); 6) (x-6x³)²; в) (y+b)²(y-b)². 6. Решите уравнение. a) (5x-2)(5x+2)-(5x-1)² = 4; 6) 100x² - 16 = 0. 7. Разложите на множители: a) a²-0,09c; 81 б) (b+8)²-4b².

Ответ: Решения ниже

1. Преобразуйте в многочлен.

а) \[(2x – 1)^2 = (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 1 + 1^2 = 4x^2 - 4x + 1\]

б) \[(3a+c)^2 = (3a)^2 + 2 \cdot 3a \cdot c + c^2 = 9a^2 + 6ac + c^2\]

в) \[(y-5)(y+5) = y^2 - 5^2 = y^2 - 25\]

г) \[(4b+5c)(4b-5c) = (4b)^2 - (5c)^2 = 16b^2 - 25c^2\]

2. Упростите выражение (x + y)(x−y)-(x²+3y²).

\[(x + y)(x-y) - (x^2 + 3y^2) = x^2 - y^2 - x^2 - 3y^2 = -4y^2\]

3. Разложите на множители.

а) \[16y^2 – 0,25 = (4y)^2 - (0.5)^2 = (4y - 0.5)(4y + 0.5)\]

б) \[a^2 +10ab + 25b^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot 5b + (5b)^2 = (a + 5b)^2\]

4. Решите уравнение \((5 – x)^2 - \frac{8}{3}x (2,5+ x) = 0\).

Шаг 1: Раскрываем скобки

\[25 - 10x + x^2 - \frac{20}{3}x - \frac{8}{3}x^2 = 0\]

Шаг 2: Умножаем обе части на 3, чтобы избавиться от дробей:

\[75 - 30x + 3x^2 - 20x - 8x^2 = 0\]

Шаг 3: Приводим подобные члены:

\[-5x^2 - 50x + 75 = 0\]

Шаг 4: Делим обе части на -5:

\[x^2 + 10x - 15 = 0\]

Шаг 5: Решаем квадратное уравнение через дискриминант:

\[D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 100 + 60 = 160\]

\[x_1 = \frac{-10 + \sqrt{160}}{2} = \frac{-10 + 4\sqrt{10}}{2} = -5 + 2\sqrt{10}\]

\[x_2 = \frac{-10 - \sqrt{160}}{2} = \frac{-10 - 4\sqrt{10}}{2} = -5 - 2\sqrt{10}\]

5. Выполните действия.

а) \[(2a-b^2)(2a+b^2) = (2a)^2 - (b^2)^2 = 4a^2 - b^4\]

б) \[(x-6x^3)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 6x^3 + (6x^3)^2 = x^2 - 12x^4 + 36x^6\]

в) \[(y+b)^2(y-b)^2 = ((y+b)(y-b))^2 = (y^2 - b^2)^2 = y^4 - 2y^2b^2 + b^4\]

6. Решите уравнение.

а) \[(5x-2)(5x+2)-(5x-1)^2 = 4\]

Шаг 1: Раскрываем скобки

\[25x^2 - 4 - (25x^2 - 10x + 1) = 4\]

Шаг 2: Упрощаем

\[25x^2 - 4 - 25x^2 + 10x - 1 = 4\]

\[10x - 5 = 4\]

\[10x = 9\]

\[x = \frac{9}{10} = 0.9\]

б) \[100x^2 - 16 = 0\]

Шаг 1: Переносим -16 в правую часть

\[100x^2 = 16\]

Шаг 2: Делим обе части на 100

\[x^2 = \frac{16}{100} = \frac{4}{25}\]

Шаг 3: Извлекаем квадратный корень

\[x = \pm \sqrt{\frac{4}{25}} = \pm \frac{2}{5} = \pm 0.4\]

7. Разложите на множители:

а) \[\frac{1}{81}a^2 - 0,09c^4 = (\frac{1}{9}a)^2 - (0.3c^2)^2 = (\frac{1}{9}a - 0.3c^2)(\frac{1}{9}a + 0.3c^2)\]

б) \[(b+8)^2 - 4b^2 = (b+8)^2 - (2b)^2 = (b+8-2b)(b+8+2b) = (8-b)(3b+8)\]

Ответ: Решения выше