Вариант 3 1. Преобразуйте в многочлен: a) (x-3)(x + 3) - 3x(4 - x); б) (y-5)² - 4y(y + 2); в) 5(а - 2)2 - 5a². 2. Разложите на множители: a) 36y - y³; 6) 4a2 - 24ab + 36b2. 3. Упростите выражение (а - b²)² - (1-b²)(1 + b²) + 2ab² и найдите его значение при а = -5. 4. Представьте в виде произведения: a) (x-4)29x2; 6) 5a + 5b - a² + b²; в) 64 - а. 5. Докажите тождество (3a + b)² - (3a - b)² = 12ab.

1. Преобразуйте в многочлен:

• Раскроем скобки, используя формулу разности квадратов:
\[(x-3)(x+3) = x^2 - 9\]
• Раскроем скобки во втором слагаемом:
\[-3x(4-x) = -12x + 3x^2\]
• Объединим полученные выражения:
\[x^2 - 9 - 12x + 3x^2 = 4x^2 - 12x - 9\]

• Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности:
\[(y-5)^2 = y^2 - 10y + 25\]
• Раскроем скобки во втором слагаемом:
\[-4y(y+2) = -4y^2 - 8y\]
• Объединим полученные выражения:
\[y^2 - 10y + 25 - 4y^2 - 8y = -3y^2 - 18y + 25\]

• Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности:
\[5(a-2)^2 = 5(a^2 - 4a + 4) = 5a^2 - 20a + 20\]
• Вычтем 5a²:
\[5a^2 - 20a + 20 - 5a^2 = -20a + 20\]

2. Разложите на множители:

• Вынесем y за скобки:
\[y(36 - y^2)\]
• Применим формулу разности квадратов:
\[y(6 - y)(6 + y)\]

• Вынесем 4 за скобки:
\[4(a^2 - 6ab + 9b^2)\]
• Заметим, что в скобках полный квадрат:
\[4(a - 3b)^2\]

3. Упростите выражение и найдите его значение при a = -5:

• Раскроем скобки:
\[(a^2 - 2ab^2 + b^4) - (1 - b^4) + 2ab^2\]
• Упростим:
\[a^2 - 2ab^2 + b^4 - 1 + b^4 + 2ab^2 = a^2 + 2b^4 - 1\]
• Подставим a = -5:
\[(-5)^2 + 2b^4 - 1 = 25 + 2b^4 - 1 = 24 + 2b^4\]

Значение выражения зависит от b, и его нельзя определить без знания b.

4. Представьте в виде произведения:

• Применим формулу разности квадратов:
\[(x-4-3x)(x-4+3x)\]
• Упростим:
\[(-2x-4)(4x-4)\]
• Вынесем общие множители:
\[-4(x+2)(x-1)\]

• Сгруппируем члены:
\[5(a+b) - (a^2 + b^2)\]

Дальнейшее разложение на множители без дополнительных преобразований невозможно.

• Представим как разность кубов:
\[4^3 - (a^3)^3\]
• Применим формулу разности кубов:
\[(4 - a^3)(16 + 4a^3 + a^6)\]

5. Докажите тождество:

• Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы и разности:
\[(9a^2 + 6ab + b^2) - (9a^2 - 6ab + b^2)\]
• Упростим:
\[9a^2 + 6ab + b^2 - 9a^2 + 6ab - b^2 = 12ab\]
• Получили:
\[12ab = 12ab\]

Тождество доказано.