Вариант 1 1. Проводится серия из 6 независимых испытаний Бернулли с вероятностью успеха р = . Найдите вероятность элементарного события, в котором наступает сначала 2 успеха, а затем - 4 неудачи. 2. Сколько элементарных событий с 4 успехами возможно в серии из 10 испытаний Бернулли? 3. Найдите вероятность выбросить ровно 6 орлов, 10 раз бросив монету.

Вариант 1

1. В данной задаче необходимо найти вероятность определенной последовательности успехов и неудач в серии испытаний Бернулли. Вероятность успеха в каждом испытании равна $$p = \frac{1}{3}$$, следовательно, вероятность неудачи равна $$q = 1 - p = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$$. Требуется найти вероятность события, когда сначала происходит 2 успеха, а затем 4 неудачи. Поскольку испытания независимы, вероятность этой последовательности равна произведению вероятностей каждого отдельного исхода:

   $$P = p \cdot p \cdot q \cdot q \cdot q \cdot q = p^2 \cdot q^4 = \left(\frac{1}{3}\right)^2 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^4 = \frac{1}{9} \cdot \frac{16}{81} = \frac{16}{729}$$

   Ответ: $$\frac{16}{729}$$

2. Здесь требуется определить количество элементарных событий с 4 успехами в серии из 10 испытаний Бернулли. Это задача на комбинаторику, а именно на вычисление количества сочетаний из 10 по 4. Используется формула сочетаний: $$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$, где $$n$$ - общее количество испытаний, $$k$$ - количество успехов.

   В нашем случае $$n = 10$$ и $$k = 4$$, поэтому:

   $$C_{10}^4 = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10!}{4!6!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 10 \cdot 3 \cdot 7 = 210$$

   Ответ: 210

3. Необходимо найти вероятность выбросить ровно 6 орлов при 10 бросках монеты. Эта задача также связана с испытаниями Бернулли. Вероятность выпадения орла (успеха) равна $$p = \frac{1}{2}$$, вероятность выпадения решки (неудачи) равна $$q = \frac{1}{2}$$. Используем формулу Бернулли:

   $$P(k; n, p) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$$

   В нашем случае $$n = 10$$, $$k = 6$$, $$p = \frac{1}{2}$$, $$q = \frac{1}{2}$$, поэтому:

   $$P(6; 10, \frac{1}{2}) = C_{10}^6 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^6 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{10-6} = \frac{10!}{6!4!} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^6 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{10} = 210 \cdot \frac{1}{1024} = \frac{210}{1024} = \frac{105}{512}$$

   Ответ: $$\frac{105}{512}$$