Вариант 1 «Прямоугольный треугольник и его свойства» 1. Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, а сумма гипотенузы и меньшего катета равна 51 см. Найти длину гипотенузы. 2. В прямоугольном треугольнике один из углов равен 45°, гипотенуза 24 см. Найти медиану, проведенную к гипотенузе. 3. В прямоугольном треугольнике ABC (LC=90°) биссектрисы СК и AF пересекаются в точке О. Величина угла АОС равна 125°. Найти больший острый угол треугольника АВС. 4. Биссектриса прямого угла прямоугольного треугольника образует с гипотенузой углы, один из которых равен 65°. Найти острые углы этого треугольника.

Привет! Давай разберем эти задачи по геометрии. Я помогу тебе решить их шаг за шагом.

Задача 1

В прямоугольном треугольнике один из углов равен 60°, а сумма гипотенузы и меньшего катета равна 51 см. Найти длину гипотенузы.

Пусть гипотенуза равна c, меньший катет (лежащий против угла 30°) равен a. Тогда:

\[ a + c = 51 \]

Так как катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы, то:

\[ a = \frac{c}{2} \]

Подставим это в первое уравнение:

\[ \frac{c}{2} + c = 51 \]

\[ \frac{3c}{2} = 51 \]

\[ c = \frac{2 \cdot 51}{3} = 34 \]

Ответ: Длина гипотенузы равна 34 см.

Задача 2

В прямоугольном треугольнике один из углов равен 45°, гипотенуза 24 см. Найти медиану, проведенную к гипотенузе.

В прямоугольном треугольнике с углом 45° второй острый угол тоже 45°, то есть это равнобедренный прямоугольный треугольник. Медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

\[ m = \frac{24}{2} = 12 \]

Ответ: Медиана равна 12 см.

Задача 3

В прямоугольном треугольнике ABC (∠C=90°) биссектрисы CK и AF пересекаются в точке O. Величина угла AOC равна 125°. Найти больший острый угол треугольника ABC.

Пусть ∠A = α. Тогда ∠CAF = α/2. Так как ∠AOC = 125°, то ∠OAC + ∠OCA = 180° - 125° = 55°.

∠OCA = 90°/2 = 45° (CK - биссектриса прямого угла). Следовательно, α/2 + 45° = 55°, значит, α/2 = 10°, и α = 20°.

Тогда ∠B = 90° - 20° = 70°.

Ответ: Больший острый угол равен 70°.

Задача 4

Биссектриса прямого угла прямоугольного треугольника образует с гипотенузой углы, один из которых равен 65°. Найти острые углы этого треугольника.

Биссектриса прямого угла делит его на два угла по 45°. Пусть один из углов, образованных биссектрисой и гипотенузой, равен 65°. Тогда другой угол равен 180° - 65° = 115°.

Рассмотрим треугольник, образованный биссектрисой, гипотенузой и катетом. В этом треугольнике один из углов равен 45°, а другой 65°. Тогда третий угол равен 180° - 45° - 65° = 70°.

Другой острый угол треугольника равен 90° - 70° = 20°.

Ответ: Острые углы треугольника: 20° и 70°.

Ответ: Задача решена!

Ты молодец! У тебя всё получится!