Вариант 1. 1. Расстояние от центра окружности до прямой равно 7 см, диаметр окружности равен 16 см. Определите, сколько общих точек имеет окружность и прямая, сделайте чертеж 2. Прямая КЕ касается окружности с центром в точке О, К - точка касания. Найдите длину отрезка ОЕ, если КЕ = 8 см, а радиус окружности равен 6 см. 3. ЕК и ЕС - отрезки касательных, проведенных к окружности с центром О радиуса 6 см, угол КОС равен 120 градусов, А - точка пересечения КС и ОЕ. Найдите длины ОА и ОЕ. 4. Точки А и В делят окружность с центром О на дуги АМВ и АСВ так, что дуга АСВ на 60 градусов меньше дуги АМВ, АМ - диаметр окружности. Найдите величины углов АMB, ABM, ACB

Задание 1

Расстояние от центра окружности до прямой равно 7 см, диаметр окружности равен 16 см. Необходимо определить, сколько общих точек имеет окружность и прямая.

Радиус окружности равен половине диаметра: \[r = \frac{d}{2} = \frac{16}{2} = 8 \text{ см}.\]

Поскольку расстояние от центра окружности до прямой (7 см) меньше радиуса окружности (8 см), прямая пересекает окружность в двух точках.

Ответ: Окружность и прямая имеют 2 общие точки.

Задание 2

Прямая KE касается окружности с центром в точке O, K – точка касания. Найти длину отрезка OE, если KE = 8 см, а радиус окружности равен 6 см.

Шаг 1: Рассмотрим треугольник OKE. Так как KE – касательная, то угол OKЕ прямой, то есть треугольник OKE – прямоугольный.

Шаг 2: Применим теорему Пифагора для прямоугольного треугольника OKE: \[OE^2 = OK^2 + KE^2\] \[OE = \sqrt{OK^2 + KE^2}\]

Шаг 3: Подставим известные значения: OK = 6 см (радиус), KE = 8 см. \[OE = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \text{ см}.\]

Ответ: OE = 10 см.

Задание 3

EK и EC – отрезки касательных, проведённых к окружности с центром O радиуса 6 см, угол KOC равен 120 градусов, A – точка пересечения KC и OE. Найти длины OA и OE.

Шаг 1: Определим углы треугольника KOC. Так как OK и OC – радиусы, то треугольник KOC – равнобедренный (OK = OC). Следовательно, углы при основании равны: \[\angle OKA = \angle OCA = \frac{180° - 120°}{2} = 30°.\]

Шаг 2: Найдём ОЕ. В прямоугольном треугольнике OKA: \[\cos(\angle OKA) = \frac{OK}{OA}\] \[OA = \frac{OK}{\cos(30°)} = \frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3} \text{ см}.\]

Шаг 3: Найдём ОА. Рассмотрим треугольник OKA. Так как KA - касательная, то угол OKА прямой, то есть треугольник OKA – прямоугольный. Тогда: \[\tan(\angle KOA) = \frac{KA}{OK}\] \[KA = OK \cdot \tan(60°) = 6 \cdot \sqrt{3} = 6\sqrt{3} \text{ см}.\] \[OC = OK = 6 \text{ см}\] Тогда: \[KC = KA + AC = 2KA = 12\sqrt{3} \text{ см}\]

Рассмотрим треугольник КОС. Сумма углов в треугольнике 180° \[\angle OKC = \angle OCK = (180 - 120) : 2 = 30°\] \[\sin(\angle OCK) = \frac{OK}{OC}\] \[OC = \frac{OK}{\sin(\angle OCK)} = \frac{6}{\sin(30)} = 12 \text{ см}\]

Шаг 4: Так как A – точка пересечения КС и ОЕ, то ОЕ = 2 * OA \[OA = \frac{1}{2} OE = \frac{1}{2} 12 = 6 \text{ см}\]

Ответ: OA = 4\sqrt{3} см, OE = 12 см.

Задание 4

Точки A и B делят окружность с центром O на дуги AMB и ACB так, что дуга ACB на 60 градусов меньше дуги AMB, AM – диаметр окружности. Найдите величины углов AMB, ABM, ACB.

Шаг 1: Обозначим дугу ACB за x, тогда дуга AMB будет x + 60°. Сумма этих дуг составляет полную окружность, то есть 360°: \[x + (x + 60°) = 360°\] \[2x = 300°\] \[x = 150°\] Следовательно, дуга ACB = 150°, а дуга AMB = 210°.

Шаг 2: Угол AMB – вписанный и опирается на дугу AB, которая равна 150°. Значит, угол AMB равен половине дуги, на которую он опирается: \[\angle AMB = \frac{1}{2} \cdot 150° = 75°.\]

Шаг 3: Так как AM – диаметр, то угол ABM опирается на полуокружность, и значит, он прямой: \[\angle ABM = 90°.\]

Шаг 4: Рассмотрим треугольник ABM. Сумма углов в треугольнике равна 180°: \[\angle BAM = 180° - \angle AMB - \angle ABM = 180° - 75° - 90° = 15°.\]

Шаг 5: Угол ACB – вписанный и опирается на дугу AB, которая содержит 210°. Следовательно, угол ACB равен половине дуги, на которую он опирается: \[\angle ACB = \frac{1}{2} \cdot 210° = 105°.\]

Ответ: \(\angle AMB = 75°\), \(\angle ABM = 90°\), \(\angle ACB = 105°\).