Вариант 2 1. Ребро куба равно 5 см. Найдите площадь сечения, проходящего через диагонали двух его смежных граней. 2. Найдите площадь боковой поверхности и объём прямой призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник с катетами 8 см и 15 см, а боковое ребро равно 6 см. 3. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 12 см, а высота равна 6 см. Найдите площадь поверхности пирамиды. 4. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 6√3 см. Найдите объём пирамиды, если её боковая грань составляет с плоскостью основания угол 60°. 5. Боковое ребро правильной усеченной четырехугольной пирамиды равно 9 см, сторона ее большего основания равна 10 см, высота равна 7 см. Найдите площадь сечения, проходящего через два боковых ребра пирамиды, не принадлежащих одной грани.

1. Площадь сечения куба

Логика такая:

• Сечение, проходящее через диагонали двух смежных граней куба, является прямоугольником, одна сторона которого равна ребру куба, а другая – диагонали грани куба.
• Найдем диагональ грани куба: \(d = a\sqrt{2}\), где \(a\) – ребро куба.
• Найдем площадь сечения как произведение сторон прямоугольника.

Решение:

Дано: ребро куба \(a = 5\) см.

Диагональ грани куба: \(d = 5\sqrt{2}\) см.

Площадь сечения: \(S = a \cdot d = 5 \cdot 5\sqrt{2} = 25\sqrt{2}\) см².

Ответ: \(25\sqrt{2}\) см²

2. Площадь боковой поверхности и объем призмы

Логика такая:

• Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы.
• Объем прямой призмы равен произведению площади основания на высоту призмы.

Решение:

Дано: катеты \(a = 8\) см, \(b = 15\) см, боковое ребро (высота) \(h = 6\) см.

Найдем гипотенузу основания: \(c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17\) см.

Периметр основания: \(P = a + b + c = 8 + 15 + 17 = 40\) см.

Площадь боковой поверхности: \(S_{бок} = P \cdot h = 40 \cdot 6 = 240\) см².

Площадь основания: \(S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 15 = 60\) см².

Объем призмы: \(V = S_{осн} \cdot h = 60 \cdot 6 = 360\) см³.

Ответ: Площадь боковой поверхности 240 см², объем 360 см³

3. Площадь поверхности пирамиды

Логика такая:

• Площадь полной поверхности пирамиды равна сумме площади основания и площади боковой поверхности.
• Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

Решение:

Дано: сторона основания \(a = 12\) см, высота \(h = 6\) см.

Площадь основания: \(S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{12^2\sqrt{3}}{4} = \frac{144\sqrt{3}}{4} = 36\sqrt{3}\) см².

Найдем апофему (высоту боковой грани). Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды, апофемой и половиной стороны основания. По теореме Пифагора:

\(l = \sqrt{h^2 + (\frac{a}{2})^2} = \sqrt{6^2 + (\frac{12}{2})^2} = \sqrt{36 + 36} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}\) см.

Периметр основания: \(P = 3a = 3 \cdot 12 = 36\) см.

Площадь боковой поверхности: \(S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot P \cdot l = \frac{1}{2} \cdot 36 \cdot 6\sqrt{2} = 108\sqrt{2}\) см².

Площадь полной поверхности: \(S = S_{осн} + S_{бок} = 36\sqrt{3} + 108\sqrt{2}\) см².

Ответ: \(36\sqrt{3} + 108\sqrt{2}\) см²

4. Объем пирамиды

Логика такая:

• Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту.
• Найдем площадь основания, зная сторону.
• Найдем высоту пирамиды, используя угол между боковой гранью и плоскостью основания.

Решение:

Дано: сторона основания \(a = 6\sqrt{3}\) см, угол \(\alpha = 60°\).

Площадь основания: \(S_{осн} = a^2 = (6\sqrt{3})^2 = 36 \cdot 3 = 108\) см².

Найдем высоту пирамиды. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды, апофемой и углом между боковой гранью и плоскостью основания. Тогда:

\(h = \frac{a}{2} \cdot \tan(\alpha) = \frac{6\sqrt{3}}{2} \cdot \tan(60°) = 3\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 9\) см.

Объем пирамиды: \(V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 108 \cdot 9 = 36 \cdot 3 = 324\) см³.

Ответ: 324 см³

5. Площадь сечения усеченной пирамиды

Логика такая:

• Сечение, проходящее через два боковых ребра усеченной пирамиды, не принадлежащих одной грани, является трапецией.
• Найдем высоту трапеции, используя теорему Пифагора.
• Найдем верхнее основание трапеции.
• Найдем площадь трапеции.

Решение:

Дано: боковое ребро \(b = 9\) см, сторона большего основания \(a_1 = 10\) см, высота \(h = 7\) см.

Найдем диагональ большего основания: \(d_1 = a_1\sqrt{2} = 10\sqrt{2}\) см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром, высотой и половиной разности диагоналей оснований. Тогда:

(\(\frac{d_1 - d_2}{2}\))^2 + h^2 = b^2\)

\(\frac{d_1 - d_2}{2} = \sqrt{b^2 - h^2} = \sqrt{9^2 - 7^2} = \sqrt{81 - 49} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}\)

\(d_1 - d_2 = 8\sqrt{2}\)

\(d_2 = d_1 - 8\sqrt{2} = 10\sqrt{2} - 8\sqrt{2} = 2\sqrt{2}\)

Сторона меньшего основания: \(a_2 = \frac{d_2}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 2\) см.

Высота сечения (трапеции): \(h_{тр} = \sqrt{b^2 - (\frac{a_1 - a_2}{2})^2} = \sqrt{9^2 - (\frac{10 - 2}{2})^2} = \sqrt{81 - 16} = \sqrt{65}\) см.

Площадь сечения: \(S = \frac{a_1 + a_2}{2} \cdot h_{тр} = \frac{10 + 2}{2} \cdot \sqrt{65} = 6\sqrt{65}\) см².

Ответ: \(6\sqrt{65}\) см²