Вариант 1 1. Решить квадратные уравнения: 1) 25x2 = 16 2) 7x2-3x = () 3) 15x²+11x+2=0 4) 3x²-11x+10=0 2. Периметр прямоугольника равен 24 см. Найдите стороны, если известно, что площадь равна 27 см². 3. В уравнении х²+рх-20=0 один из корней равен -10. Найдите другой корень уравнения и коэффициент р. 4. Найдите стороны прямоугольника, если одна из сторон больше другой на 5, а площадь равна 84. 5. Реши уравнения 3x²-x x²-2 ズー + A) 48=1/6, б) x²+(√2+√3)x+√6=0

1. Решить квадратные уравнения:

1) $$25x^2 = 16$$

$$x^2 = \frac{16}{25}$$

$$x = \pm \sqrt{\frac{16}{25}}$$

$$x = \pm \frac{4}{5}$$

$$x_1 = 0.8, x_2 = -0.8$$

Ответ: $$x_1 = 0.8, x_2 = -0.8$$

2) $$7x^2 - 3x = 0$$

$$x(7x - 3) = 0$$

$$x_1 = 0$$

$$7x - 3 = 0$$

$$7x = 3$$

$$x_2 = \frac{3}{7}$$

Ответ: $$x_1 = 0, x_2 = \frac{3}{7}$$

3) $$15x^2 + 11x + 2 = 0$$

$$D = 11^2 - 4 \cdot 15 \cdot 2 = 121 - 120 = 1$$

$$x_1 = \frac{-11 + \sqrt{1}}{2 \cdot 15} = \frac{-11 + 1}{30} = \frac{-10}{30} = -\frac{1}{3}$$

$$x_2 = \frac{-11 - \sqrt{1}}{2 \cdot 15} = \frac{-11 - 1}{30} = \frac{-12}{30} = -\frac{2}{5}$$

Ответ: $$x_1 = -\frac{1}{3}, x_2 = -\frac{2}{5}$$

4) $$3x^2 - 11x + 10 = 0$$

$$D = (-11)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 10 = 121 - 120 = 1$$

$$x_1 = \frac{11 + \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{11 + 1}{6} = \frac{12}{6} = 2$$

$$x_2 = \frac{11 - \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{11 - 1}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$$

Ответ: $$x_1 = 2, x_2 = \frac{5}{3}$$

2. Периметр прямоугольника равен 24 см. Найдите стороны, если известно, что площадь равна 27 см².

Пусть $$a$$ и $$b$$ - стороны прямоугольника. Тогда периметр $$P = 2(a+b) = 24$$ и площадь $$S = a \cdot b = 27$$.

Из периметра:

$$2(a+b) = 24$$

$$a + b = 12$$

$$a = 12 - b$$

Подставим в площадь:

$$(12 - b)b = 27$$

$$12b - b^2 = 27$$

$$b^2 - 12b + 27 = 0$$

$$D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 27 = 144 - 108 = 36$$

$$b_1 = \frac{12 + \sqrt{36}}{2} = \frac{12 + 6}{2} = \frac{18}{2} = 9$$

$$b_2 = \frac{12 - \sqrt{36}}{2} = \frac{12 - 6}{2} = \frac{6}{2} = 3$$

$$a_1 = 12 - 9 = 3$$

$$a_2 = 12 - 3 = 9$$

Ответ: Стороны прямоугольника: 3 см и 9 см.

3. В уравнении х²+рх-20=0 один из корней равен -10. Найдите другой корень уравнения и коэффициент р.

Пусть $$x_1 = -10$$ - один из корней уравнения $$x^2 + px - 20 = 0$$. Тогда, по теореме Виета:

$$x_1 \cdot x_2 = -20$$

$$x_1 + x_2 = -p$$

Подставим $$x_1 = -10$$:

$$-10 \cdot x_2 = -20$$

$$x_2 = \frac{-20}{-10} = 2$$

Теперь найдем $$p$$:

$$-10 + 2 = -p$$

$$-8 = -p$$

$$p = 8$$

Ответ: Второй корень уравнения равен 2, коэффициент p равен 8.

4. Найдите стороны прямоугольника, если одна из сторон больше другой на 5, а площадь равна 84.

Пусть $$a$$ - одна сторона прямоугольника, тогда другая сторона $$a + 5$$. Площадь $$S = a(a + 5) = 84$$.

$$a^2 + 5a - 84 = 0$$

$$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-84) = 25 + 336 = 361$$

$$a_1 = \frac{-5 + \sqrt{361}}{2} = \frac{-5 + 19}{2} = \frac{14}{2} = 7$$

$$a_2 = \frac{-5 - \sqrt{361}}{2} = \frac{-5 - 19}{2} = \frac{-24}{2} = -12$$ (не подходит, так как сторона не может быть отрицательной)

Тогда другая сторона: $$7 + 5 = 12$$.

Ответ: Стороны прямоугольника: 7 и 12.

5. Реши уравнения

А) $$\frac{3x^2 - x}{4} + \frac{x^2 - 2}{8} = \frac{1}{6}$$

Умножим обе части на 24 (наименьший общий знаменатель):

$$6(3x^2 - x) + 3(x^2 - 2) = 4$$

$$18x^2 - 6x + 3x^2 - 6 = 4$$

$$21x^2 - 6x - 10 = 0$$

$$D = (-6)^2 - 4 \cdot 21 \cdot (-10) = 36 + 840 = 876$$

$$x_1 = \frac{6 + \sqrt{876}}{42} = \frac{6 + 2\sqrt{219}}{42} = \frac{3 + \sqrt{219}}{21}$$

$$x_2 = \frac{6 - \sqrt{876}}{42} = \frac{6 - 2\sqrt{219}}{42} = \frac{3 - \sqrt{219}}{21}$$

Ответ: $$x_1 = \frac{3 + \sqrt{219}}{21}, x_2 = \frac{3 - \sqrt{219}}{21}$$

б) $$x^2 + (\sqrt{2} + \sqrt{3})x + \sqrt{6} = 0$$

$$D = (\sqrt{2} + \sqrt{3})^2 - 4 \cdot 1 \cdot \sqrt{6} = 2 + 2\sqrt{6} + 3 - 4\sqrt{6} = 5 - 2\sqrt{6} = (\sqrt{3} - \sqrt{2})^2$$

$$x_1 = \frac{-(\sqrt{2} + \sqrt{3}) + \sqrt{(\sqrt{3} - \sqrt{2})^2}}{2} = \frac{-\sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{3} - \sqrt{2}}{2} = \frac{-2\sqrt{2}}{2} = -\sqrt{2}$$

$$x_2 = \frac{-(\sqrt{2} + \sqrt{3}) - \sqrt{(\sqrt{3} - \sqrt{2})^2}}{2} = \frac{-\sqrt{2} - \sqrt{3} - \sqrt{3} + \sqrt{2}}{2} = \frac{-2\sqrt{3}}{2} = -\sqrt{3}$$

Ответ: $$x_1 = -\sqrt{2}, x_2 = -\sqrt{3}$$