Вариант 1 1. Решить уравнение: a)√5x-4= √3x+2; 6) √2x²-2x-3= 3 + 2x; B) x-2-4x-2= -3. 2.Решить неравенство: a)√2x+3<4; 6) √x+18≤ 2 - x. 3.Решить графически неравенство: √x−2 ≤ x - 4. 4.Найти область определения функции: f(x) = 2x²+7x-4. x-3

1. Решить уравнение:

a) $$ \sqrt{5x-4} = \sqrt{3x+2} $$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$$ (\sqrt{5x-4})^2 = (\sqrt{3x+2})^2 $$

$$ 5x-4 = 3x+2 $$

$$ 5x - 3x = 2 + 4 $$

$$ 2x = 6 $$

$$ x = 3 $$

Проверка:

$$ \sqrt{5 \cdot 3 - 4} = \sqrt{3 \cdot 3 + 2} $$

$$ \sqrt{15 - 4} = \sqrt{9 + 2} $$

$$ \sqrt{11} = \sqrt{11} $$

Равенство выполняется, следовательно, корень найден верно.

Ответ: x = 3

---

б) $$ \sqrt{2x^2 - 2x - 3} = 3 + 2x $$

Обе части уравнения возведем в квадрат:

$$ (\sqrt{2x^2 - 2x - 3})^2 = (3 + 2x)^2 $$

$$ 2x^2 - 2x - 3 = 9 + 12x + 4x^2 $$

$$ 0 = 2x^2 + 14x + 12 $$

$$ x^2 + 7x + 6 = 0 $$

Решим квадратное уравнение:

$$ x = \frac{-7 \pm \sqrt{7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2} $$

$$ x = \frac{-7 \pm \sqrt{49 - 24}}{2} $$

$$ x = \frac{-7 \pm \sqrt{25}}{2} $$

$$ x = \frac{-7 \pm 5}{2} $$

$$ x_1 = \frac{-7 + 5}{2} = -1 $$

$$ x_2 = \frac{-7 - 5}{2} = -6 $$

Проверка:

При x = -1:

$$ \sqrt{2 \cdot (-1)^2 - 2 \cdot (-1) - 3} = 3 + 2 \cdot (-1) $$

$$ \sqrt{2 + 2 - 3} = 3 - 2 $$

$$ \sqrt{1} = 1 $$

$$ 1 = 1 $$

При x = -6:

$$ \sqrt{2 \cdot (-6)^2 - 2 \cdot (-6) - 3} = 3 + 2 \cdot (-6) $$

$$ \sqrt{72 + 12 - 3} = 3 - 12 $$

$$ \sqrt{81} = -9 $$

$$ 9
e -9 $$

Следовательно, x = -6 - посторонний корень.

Ответ: x = -1

---

в) $$ \sqrt{x-2} - 4 \sqrt[4]{x-2} = -3 $$

Пусть $$ t = \sqrt[4]{x-2} $$, тогда $$ t^2 = \sqrt{x-2} $$.

Уравнение примет вид:

$$ t^2 - 4t = -3 $$

$$ t^2 - 4t + 3 = 0 $$

Решим квадратное уравнение:

$$ t = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2} $$

$$ t = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} $$

$$ t = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2} $$

$$ t = \frac{4 \pm 2}{2} $$

$$ t_1 = \frac{4 + 2}{2} = 3 $$

$$ t_2 = \frac{4 - 2}{2} = 1 $$

Вернемся к замене:

1) $$ \sqrt[4]{x-2} = 3 $$

$$ x - 2 = 3^4 $$

$$ x - 2 = 81 $$

$$ x = 83 $$

2) $$ \sqrt[4]{x-2} = 1 $$

$$ x - 2 = 1^4 $$

$$ x - 2 = 1 $$

$$ x = 3 $$

Проверка:

$$ \sqrt{x-2} - 4 \sqrt[4]{x-2} = -3 $$

При x = 83:

$$ \sqrt{83 - 2} - 4 \sqrt[4]{83 - 2} = -3 $$

$$ \sqrt{81} - 4 \sqrt[4]{81} = -3 $$

$$ 9 - 4 \cdot 3 = -3 $$

$$ 9 - 12 = -3 $$

$$ -3 = -3 $$

При x = 3:

$$ \sqrt{3 - 2} - 4 \sqrt[4]{3 - 2} = -3 $$

$$ \sqrt{1} - 4 \sqrt[4]{1} = -3 $$

$$ 1 - 4 \cdot 1 = -3 $$

$$ 1 - 4 = -3 $$

$$ -3 = -3 $$

Ответ: x = 3, x = 83

---

2. Решить неравенство:

а) $$ \sqrt{2x+3} < 4 $$

Возведем обе части неравенства в квадрат:

$$ (\sqrt{2x+3})^2 < 4^2 $$

$$ 2x + 3 < 16 $$

$$ 2x < 13 $$

$$ x < \frac{13}{2} $$

$$ x < 6.5 $$

Область определения:

$$ 2x + 3 \ge 0 $$

$$ 2x \ge -3 $$

$$ x \ge -1.5 $$

Ответ: $$ x \in [-1.5; 6.5) $$

---

б) $$ \sqrt{x+18} \le 2 - x $$

ОДЗ:

$$ x+18 \ge 0 $$

$$ x \ge -18 $$

И $$ 2-x \ge 0 $$

$$ 2 \ge x $$

$$ x \le 2 $$

Область определения $$ x \in [-18;2] $$

Возведем обе части неравенства в квадрат:

$$ (\sqrt{x+18})^2 \le (2 - x)^2 $$

$$ x + 18 \le 4 - 4x + x^2 $$

$$ x^2 - 5x - 14 \ge 0 $$

Решим квадратное уравнение:

$$ x^2 - 5x - 14 = 0 $$

$$ x = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14)}}{2} $$

$$ x = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 56}}{2} $$

$$ x = \frac{5 \pm \sqrt{81}}{2} $$

$$ x = \frac{5 \pm 9}{2} $$

$$ x_1 = \frac{5 + 9}{2} = 7 $$

$$ x_2 = \frac{5 - 9}{2} = -2 $$

Учитывая ОДЗ, находим $$ x \in [-18; -2] $$

Ответ: $$ x \in [-18; -2] $$

---

3. Решить графически неравенство:

$$ \sqrt{x-2} \le x - 4 $$

Построим графики функций $$ y = \sqrt{x-2} $$ и $$ y = x-4 $$ и найдем область, где график первой функции лежит ниже графика второй функции.

        |       /       /       /       |
      6 |      /      /      /      /       |
        |     /      /      /      /        |
      5 |    /      /      /      /         |
        |   /      /      /      /          |
      4 |  /      /      /      /           |
        | /      /      /      /            |
      3 |/      /      /      /             |
        |----------------------------------
      2 |      /      /      /              |
        |     /      /      /               |
      1 |    /      /      /                |
        |   /      /      /                 |
      0 |  /      /      /                  |
        ----------------------------------
         0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10

Из графика видно, что $$ x \ge 6 $$

Ответ: $$ x \in [6; +\infty) $$

---

4. Найти область определения функции:

$$ f(x) = \frac{\sqrt[6]{2x^2 + 7x - 4}}{x - 3} $$

Для того чтобы функция имела смысл, необходимо выполнение следующих условий:

1) Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$$ 2x^2 + 7x - 4 \ge 0 $$

2) Знаменатель не должен равняться нулю:

$$ x - 3
e 0 $$

$$ x
e 3 $$

Решим квадратное неравенство:

$$ 2x^2 + 7x - 4 = 0 $$

$$ x = \frac{-7 \pm \sqrt{7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4)}}{2 \cdot 2} $$

$$ x = \frac{-7 \pm \sqrt{49 + 32}}{4} $$

$$ x = \frac{-7 \pm \sqrt{81}}{4} $$

$$ x = \frac{-7 \pm 9}{4} $$

$$ x_1 = \frac{-7 + 9}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $$

$$ x_2 = \frac{-7 - 9}{4} = \frac{-16}{4} = -4 $$

Решение неравенства: $$ x \le -4 $$ или $$ x \ge \frac{1}{2} $$

Учитывая, что $$ x
e 3 $$, получаем:

Ответ: $$ x \in (-\infty; -4] \cup [\frac{1}{2}; 3) \cup (3; +\infty) $$