Вариант 2 №1 Решите систему уравнений методом подстановки (x - y = -2 {x (x + y = 1 №2 Решите систему уравнений методом алгебраическо- го сложения (x² - 3y² 2 (x² + 3y² 2 = 22 = 28 №3 Решите графически систему уравнений 2 2 (x² + y² = 1 №4 Решите систему уравнений (x - y = 1 {5x - y = 7 (3x + 2y = −1 В ответ запишите х+у. №5 Одна из сторон прямоугольника на 4 см больше дру- гой. Найдите стороны прямоугольника, если его пло- 2 щадь равна 45 см².

№1 Решите систему уравнений методом подстановки

\[\begin{cases} x \cdot y = -2 \\ x + y = 1 \end{cases}\]

Выразим x из второго уравнения: x = 1 - y. Подставим это выражение в первое уравнение:

\[(1 - y) \cdot y = -2\] \[y - y^2 = -2\] \[y^2 - y - 2 = 0\]

Решим квадратное уравнение относительно y. Дискриминант D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9. Корни:

\[y_1 = \frac{1 + \sqrt{9}}{2} = \frac{1 + 3}{2} = 2\] \[y_2 = \frac{1 - \sqrt{9}}{2} = \frac{1 - 3}{2} = -1\]

Найдем соответствующие значения x:

Если y = 2, то x = 1 - y = 1 - 2 = -1.

Если y = -1, то x = 1 - y = 1 - (-1) = 2.

Система имеет два решения: (-1; 2) и (2; -1).

№2 Решите систему уравнений методом алгебраического сложения

\[\begin{cases} x^2 - 3y^2 = 22 \\ x^2 + 3y^2 = 28 \end{cases}\]

Сложим два уравнения:

\[(x^2 - 3y^2) + (x^2 + 3y^2) = 22 + 28\] \[2x^2 = 50\] \[x^2 = 25\] \[x = \pm 5\]

Подставим значения x^2 в любое из уравнений, например во второе:

\[25 + 3y^2 = 28\] \[3y^2 = 3\] \[y^2 = 1\] \[y = \pm 1\]

Система имеет четыре решения: (5; 1), (5; -1), (-5; 1), (-5; -1).

№3 Решите графически систему уравнений

\[\begin{cases} x^2 + y^2 = 1 \\ x - y = 1 \end{cases}\]

Первое уравнение — это уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом 1.

Второе уравнение — это уравнение прямой y = x - 1.

Решим систему аналитически, чтобы определить точки пересечения:

Подставим y = x - 1 в первое уравнение:

\[x^2 + (x - 1)^2 = 1\] \[x^2 + x^2 - 2x + 1 = 1\] \[2x^2 - 2x = 0\] \[2x(x - 1) = 0\] \[x_1 = 0, x_2 = 1\]

Найдем соответствующие значения y:

Если x = 0, то y = x - 1 = 0 - 1 = -1.

Если x = 1, то y = x - 1 = 1 - 1 = 0.

Система имеет два решения: (0; -1) и (1; 0).

№4 Решите систему уравнений

\[\begin{cases} 5x - y = 7 \\ 3x + 2y = -1 \end{cases}\]

Умножим первое уравнение на 2:

\[\begin{cases} 10x - 2y = 14 \\ 3x + 2y = -1 \end{cases}\]

Сложим два уравнения:

\[(10x - 2y) + (3x + 2y) = 14 + (-1)\] \[13x = 13\] \[x = 1\]

Подставим x = 1 в первое уравнение:

\[5 \cdot 1 - y = 7\] \[5 - y = 7\] \[y = -2\]

В ответ запишите x + y: x + y = 1 + (-2) = -1

Ответ: -1

№5 Одна из сторон прямоугольника на 4 см больше другой. Найдите стороны прямоугольника, если его площадь равна 45 см².

Пусть одна сторона прямоугольника равна x, тогда другая сторона равна x + 4.

Площадь прямоугольника равна произведению его сторон: x(x + 4) = 45

\[x^2 + 4x - 45 = 0\]

Решим квадратное уравнение относительно x. Дискриминант D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-45) = 16 + 180 = 196. Корни:

\[x_1 = \frac{-4 + \sqrt{196}}{2} = \frac{-4 + 14}{2} = 5\] \[x_2 = \frac{-4 - \sqrt{196}}{2} = \frac{-4 - 14}{2} = -9\]

Так как длина стороны не может быть отрицательной, то x = 5. Тогда другая сторона равна x + 4 = 5 + 4 = 9.

Ответ: 5 и 9